( 1 ) x ( y ′ ) 2 − 2 y y ′ + x = 0 ； ( 2 ) x 2 y ′ ′ − x y ′ + y = 0 ； ( 3 ) x y ′ ′ ′ + 2 y ′ ′ + x 2 y = 0 ； ( 4 ) ( 7 x − 6 y ) d x + ( x + y ) d y = 0 ； ( 5 ) L d 2 Q d t 2 + R d Q d t + Q C = 0 ； ( 6 ) d ρ d θ + ρ = s i n 2 θ . (1) x(y′)2−2yy′+x=0； (2) x2y″ (1) x(y′)2−2yy′+x=0； (2) x2y′′−xy′+y=0； (3) xy′′′+2y′′+x2y=0； (4) (7x−6y)dx+(x+y)dy=0； (5) Ldt2d2Q+RdtdQ+CQ=0； (6) dθdρ+ρ=sin2 θ.
( 1 ) 一阶 ( 2 ) 二阶 ( 3 ) 三阶 ( 4 ) 一阶 ( 5 ) 二阶 ( 6 ) 一阶 (1) 一阶 (2) 二阶 (3) 三阶 (4) 一阶 (5) 二阶 (6) 一阶
( 1 ) x y ′ = 2 y ， y = 5 x 2 ； ( 2 ) y ′ ′ + y = 0 ， y = 3 s i n x − 4 c o s x ； ( 3 ) y ′ ′ − 2 y ′ + y = 0 ， y = x 2 e x ； ( 4 ) y ′ ′ − ( λ 1 + λ 2 ) y ′ + λ 1 λ 2 y = 0 ， y = C 1 e λ 1 x + C 2 e λ 2 x (1) xy′=2y，y=5x2； (2) y′′+y=0，y=3sin x−4cos x； (3) y′′−2y′+y=0，y=x2ex； (4) y′′−(λ1+λ2)y′+λ1λ2y=0，y=C1eλ1x+C2eλ2x
( 1 ) y ′ = 10 x ， x y ′ = 10 x 2 ， 2 y = 10 x 2 ，所以， y = 5 x 2 是微分方程的解。 ( 2 ) y ′ = 3 c o s x + 4 s i n x ， y ′ ′ = − 3 s i n x + 4 c o s x ， y ′ ′ + y = − 3 s i n x + 4 c o s x + 3 s i n x − 4 c o s x = 0 ， 所以， y = 3 s i n x − 4 c o s x 是微分方程的解。 ( 3 ) y ′ = 2 x e x + x 2 e x ， y ′ ′ = 2 e x + 2 x e x + 2 x e x + x 2 e x ， y ′ ′ − 2 y ′ + y = 2 e x + 2 x e x + 2 x e x + x 2 e x − 4 x e x − 2 x 2 e x + x 2 e x = 2 e x ≠ 0 ，所以， y = x 2 e x 不是微分方程的解。 ( 4 ) y ′ = C 1 λ 1 e λ 1 x + C 2 λ 2 e λ 2 x ， y ′ ′ = C 1 λ 1 2 e λ 1 x + C 2 λ 2 2 e λ 2 x ， y ′ ′ − ( λ 1 + λ 2 ) y ′ + λ 1 λ 2 y = C 1 λ 1 2 e λ 1 x + C 2 λ 2 2 e λ 2 x − ( λ 1 + λ 2 ) ( C 1 λ 1 e λ 1 x + C 2 λ 2 e λ 2 x ) + λ 1 λ 2 ( C 1 e λ 1 x + C 2 e λ 2 x ) = 0 所以， y = C 1 e λ 1 x + C 2 e λ 2 x 是微分方程的解。 (1) y′=10x，xy′=10x2，2y=10x2，所以，y=5x2是微分方程的解。 (2) y′=3cos x+4sin x，y′′=−3sin x+4cos x，y′′+y=−3sin x+4cos x+3sin x−4cos x=0， 所以，y=3sin x−4cos x是微分方程的解。 (3) y′=2xex+x2ex，y′′=2ex+2xex+2xex+x2ex， y′′−2y′+y=2ex+2xex+2xex+x2ex−4xex−2x2ex+x2ex=2ex=0，所以，y=x2ex不是微分方程的解。 (4) y′=C1λ1eλ1x+C2λ2eλ2x，y′′=C1λ12eλ1x+C2λ22eλ2x， y′′−(λ1+λ2)y′+λ1λ2y=C1λ12eλ1x+C2λ22eλ2x−(λ1+λ2)(C1λ1eλ1x+C2λ2eλ2x)+λ1λ2(C1eλ1x+C2eλ2x)=0 所以，y=C1eλ1x+C2eλ2x是微分方程的解。
( 1 ) ( x − 2 y ) y ′ = 2 x − y ， x 2 − x y + y 2 = C ； ( 2 ) ( x y − x ) y ′ ′ + x y ′ 2 + y y ′ − 2 y ′ = 0 ， y = l n ( x y ) . (1) (x−2y)y′=2x−y，x2−xy+y2=C； (2) (xy−x)y′′+xy′2+yy′−2y′=0，y=ln(xy).
( 1 ) 方程 x 2 − x y + y 2 = C 两端求导，得 2 x − ( y + x y ′ ) + 2 y y ′ = 0 ，即 ( x − 2 y ) y ′ = 2 x − y ， 所以， x 2 − x y + y 2 = C 是微分方程的解。 ( 2 ) 方程 y = l n ( x y ) 两端对 x 求导，得 y ′ = y + x y ′ x y ，即 ( x y − x ) y ′ − y = 0 ，再对上式两端对 x 求导， 得 ( y + x y ′ − 1 ) y ′ + ( x y − x ) y ′ ′ − y ′ = 0 ，即 ( x y − x ) y ′ ′ + x y ′ 2 + y y ′ − 2 y ′ = 0 ， 所以， y = l n ( x y ) 是微分方程的解。 (1) 方程x2−xy+y2=C两端求导，得2x−(y+xy′)+2yy′=0，即(x−2y)y′=2x−y， 所以，x2−xy+y2=C是微分方程的解。 (2) 方程y=ln(xy)两端对x求导，得y′=xyy+xy′，即(xy−x)y′−y=0，再对上式两端对x求导， 得(y+xy′−1)y′+(xy−x)y′′−y′=0，即(xy−x)y′′+xy′2+yy′−2y′=0， 所以，y=ln(xy)是微分方程的解。
( 1 ) x 2 − y 2 = C ， y ∣ x = 0 = 5 ； ( 2 ) y = ( C 1 + C 2 x ) e 2 x ， y ∣ x = 0 = 0 ， y ′ ∣ x = 0 = 1 ； ( 3 ) y = C 1 s i n ( x − C 2 ) ， y ∣ x = π = 1 ， y ′ ∣ x = π = 0. (1) x2−y2=C，y∣x=0=5； (2) y=(C1+C2x)e2x，y∣x=0=0，y′∣x=0=1； (3) y=C1sin(x−C2)，y∣x=π=1，y′∣x=π=0.
( 1 ) 将 x = 0 ， y = 5 代入函数中，得 C = − 25 ，即 x 2 − y 2 = − 25 ( 2 ) 由 y = ( C 1 + C 2 x ) e 2 x ，得 y ′ = ( C 2 + 2 C 1 + 2 C 2 x ) e 2 x ，将 x = 0 ， y = 0 及 y ′ = 1 代入函数， 得 C 1 = 0 ， 2 C 1 + C 2 = 1 ，即 C 1 = 0 ， C 2 = 1 ， y = x e 2 x . ( 3 ) 由 y = C 1 s i n ( x − C 2 ) ，得 y ′ = C 1 c o s ( x − C 2 ) ，将 x = π ， y = 1 及 y ′ = 0 代入函数， 得 { 1 = C 1 s i n ( π − C 2 ) = C 1 s i n C 2 ， ( 1 ) 0 = C 1 c o s ( π − C 2 ) = − C 1 c o s C 2 ， ( 2 ) ，由 ( 1 ) 2 + ( 2 ) 2 得 C 1 2 = 1 ，取 C 1 = 1 ，由 ( 1 ) 得 C 2 = 2 k π + π 2 ， 所以， y = s i n ( x − 2 k π − π 2 ) = − c o s x . (1) 将x=0，y=5代入函数中，得C=−25，即x2−y2=−25 (2) 由y=(C1+C2x)e2x，得y′=(C2+2C1+2C2x)e2x，将x=0，y=0及y′=1代入函数， 得C1=0，2C1+C2=1，即C1=0，C2=1，y=xe2x. (3) 由y=C1sin(x−C2)，得y′=C1cos(x−C2)，将x=π，y=1及y′=0代入函数， 得⎩ ⎨ ⎧1=C1sin(π−C2)=C1sin C2， (1)0=C1cos(π−C2)=−C1cos C2， (2)，由(1)2+(2)2得C12=1，取C1=1，由(1)得C2=2kπ+2π， 所以，y=sin(x−2kπ−2π)=−cos x.
( 1 ) 曲线在点 ( x , y ) 处的切线的斜率等于该点横坐标的平方； ( 2 ) 曲线上点 P ( x , y ) 处的法线与 x 轴的交点为 Q ，且线段 P Q 被 y 轴平分。 (1) 曲线在点(x, y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方； (2) 曲线上点P(x, y)处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分。
( 1 ) 设曲线方程为 y = y ( x ) ，它在点 ( x , y ) 处的切线斜率为 y ′ ，根据条件，有 y ′ = x 2 为曲线方程所满足的微分方程。 ( 2 ) 设曲线方程为 y = y ( x ) ，因它在点 P ( x , y ) 处的切线斜率为 y ′ ，所以该点处法线斜率为 − 1 y ’ ， 根据条件可知 P Q 之中点位与 y 轴上，所以点 Q 的坐标是 ( − x , 0 ) ，于是有 y = 0 x − ( − x ) = − 1 y ′ ， 即微分方程为 y y ′ + 2 x = 0. (1) 设曲线方程为y=y(x)，它在点(x, y)处的切线斜率为y′，根据条件，有y′=x2为曲线方程所满足的微分方程。 (2) 设曲线方程为y=y(x)，因它在点P(x, y)处的切线斜率为y′，所以该点处法线斜率为−y’1， 根据条件可知PQ之中点位与y轴上，所以点Q的坐标是(−x, 0)，于是有x−(−x)y=0=−y′1， 即微分方程为yy′+2x=0.
因为 d P d T 与 P 成正比，与 T 2 成反比，若比例系数为 k ，则有 d P d T = k P T 2 因为dTdP与P成正比，与T2成反比，若比例系数为k，则有dTdP=kT2P
设雪堆在时刻 t 的体积为 V = 2 3 π r 3 ，侧面积 S = 2 π r 2 ，根据题意可知 d V d t = 2 π r 2 d r d t = − k S = − 2 π k r 2 ， 得 d r d t = − k ，积分得 r = − k t + C ，由 r ∣ t = 0 = r 0 ，得 C = r 0 ， r = r 0 − k t ，又因为 V ∣ t = 3 = 1 8 V ∣ t = 0 ， 即 2 3 π ( r 0 − 3 k ) 3 = 1 8 ⋅ 2 3 π r 0 3 ，得 k = 1 6 r 0 ，从而得 r = r 0 − 1 6 r 0 t ，所以，雪堆全部融化时， r = 0 ， 得 t = 6 ，即雪堆全部融化需 6 小时 . 设雪堆在时刻t的体积为V=32πr3，侧面积S=2πr2，根据题意可知dtdV=2πr2dtdr=−kS=−2πkr2， 得dtdr=−k，积分得r=−kt+C，由r∣t=0=r0，得C=r0，r=r0−kt，又因为V∣t=3=81V∣t=0， 即32π(r0−3k)3=81⋅32πr03，得k=61r0，从而得r=r0−61r0t，所以，雪堆全部融化时，r=0， 得t=6，即雪堆全部融化需6小时.