LeetCode 第10题：正则表达式匹配（Python3解法）

1：问题描述

来源：LeetCode

难度：困难

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问题详情：
给你一个字符串 s 和一个字符规律 p，请你来实现一个支持 '.' 和 '*' 的正则表达式匹配。

'.' 匹配任意单个字符
'*' 匹配零个或多个前面的那一个元素
所谓匹配，是要涵盖 整个 字符串 s的，而不是部分字符串

输入：s = “aa”, p = “a”
输出：false
解释：“a” 无法匹配 “aa” 整个字符串。

输入：s = “aa”, p = “a*”
输出：true
解释：因为 ‘*’ 代表可以匹配零个或多个前面的那一个元素, 在这里前面的元素就是 ‘a’。因此，字符串 “aa” 可被视为 ‘a’ 重复了一次。

输入：“+1+1”
输出：1
解释：读取到第二个“+”时根据第2个条件，停止读取

输入：s = “ab”, p = “."
输出：true
解释：".” 表示可匹配零个或多个（‘*’）任意字符（‘.’）

提示：

• 1 <= s.length <= 20
• 1 <= p.length <= 30
• s 只包含从 a-z 的小写字母。
• p 只包含从 a-z 的小写字母，以及字符 . 和 *。
• 保证每次出现字符 * 时，前面都匹配到有效的字符

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2：问题分析

2.1 时间复杂度和空间复杂度

在真正开始介绍各种算法前，先以表格形式展示各自的时间复杂度和空间复杂度，其中$m$表示字符串$s$的长度,$n$表示字符串$p$的长度

2.2 动态规划

我们使用$dp[i][j]$表示字符串到$s[i]$与p到$p[j]$时的匹配情况，当前需要对比$s[i]$ 和 $p[j]$,如果当前$p[j]$是字母，且$s[i]==p[j]$，或者$p[j]=.$ ，则：
$$dp[i][j]==dp[i-1][j-1]$$

如果$p[j]=\ast$,那么就需要考虑多种情况了。

1. 如果与前面的字符匹配了0次，那就是$s[i]!=p[j-1]$ 并且 $p[j-1]!=.$,也就是如s='aabc',p='aabe*c',需要查看字母*前的匹配情况：即对比'abb'与‘aab’的匹配情况，即：
   $$dp[i][j]=dp[i][j-2]$$

2. 如果匹配了1次或者多次，则有$s[i]=p[j-1]$ 或者$p[j-1]=.$,
   但是如果是$s[i]=p[j-1]$ 或者$p[j-1]=.$,能否推断出当前匹配了1次或者对此呢，其实是不能的。因为假如为s='abc'与p='abb*c'，其中s中的‘b’与p中的‘b*’也是能匹配上的，虽然也会产生$s[i]=p[j-1]$的情况，但是这里其实是匹配了0次，因此这种情况仍然是：
   $$dp[i][j]=dp[i][j-2]$$
   正常的匹配到1次的情况，有：
   $$dp[i][j]=dp[i-1][j-2]$$
   匹配到多次的情况，有：
   $$dp[i][j]=dp[i-1][j]$$
   举例来说，s='daaac'和p='da*c','daaa'与‘da*’匹配成功后，我们再将'daa'与‘da*’再次验证是否匹配；然后再验证'da'与‘da*’…
   但是假设's=dad'和‘p=da*d’,我们可以观察到‘d’与‘d’的匹配情况和‘d’与‘da*’的匹配情况是相同的，因此我们可以将匹配1次的情况统一成匹配多次的情况。
   因此匹配1次或者多次的情况：
   $$dp[i][j]=dp[i-1][j]$$

   综上所述，$dp[i][j]=dp[i-1][j]|dp[i][j-2]$

2.2.1 代码

由于之前的问题详情里，描述的还算详细，因此直接给出代码：

def isMatch(s: str, p: str) -> bool:

    m, n = len(s), len(p)
    dp = [[False] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]

    # 对第0行初始化
    dp[0][0] = True
    for j in range(1, n + 1):
        # _ 与 字母* 是可以匹配上的，_表示空字符，所以应该对这种情况特殊赋值
        # _ 与 字母字母* 是匹配不上的
        if p[j - 1] == '*':
            dp[0][j] = dp[0][j - 2]

    # 状态更新
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            # 当对应的字符相等或者p为.时，可以进行状态转移
            if s[i - 1] == p[j - 1] or p[j - 1] == '.':
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
            elif p[j - 1] == '*':  # 【题目保证'*'号不会是第一个字符，所以此处有j>=2】
                # 如果*号前的字符没有匹配上（指字母没匹配上，而且也不是.）
                # 那么这个*号就是匹配0次
                if s[i - 1] != p[j - 2] and p[j - 2] != '.':
                    dp[i][j] = dp[i][j - 2]
                # 如果匹配上了，那就需要判断匹配1次的状态或者匹配多次的状态
                # dp[i - 1][j]对应匹配1次或者多次
                # dp[i][j - 2]对应匹配0次
                else:
                    dp[i][j] = dp[i][j - 2] | dp[i - 1][j]

    return dp[m][n]
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初始化阶段的示意图如下所示。第一列除第一个单元格外都是False，第一行遇到*时，看是否有 空 匹配 字母*的情况， 空 是可以匹配 字母*的。很显然这里是不存在的。其余空白处的位置在初始化时都为False。

时间复杂度为$O(mn)$
空间的主要消耗是dp的存储，因此为$O(mn)$