《算法竞赛进阶指南》差分约束 区间

给定 n 个区间 [ai,bi] 和 n 个整数 ci。

你需要构造一个整数集合 Z，使得 ∀i∈[1,n]，Z 中满足 ai≤x≤bi 的整数 x 不少于 ci 个。

求这样的整数集合 Z 最少包含多少个数。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含三个整数 ai,bi,ci。

输出格式

输出一个整数表示结果。

数据范围

1≤n≤50000,
0≤ai,bi≤50000,
1≤ci≤bi−ai+1

输入样例：

5
3 7 3
8 10 3
6 8 1
1 3 1
10 11 1

输出样例：

6

典型的差分约束问题若不懂差分约束的可以看看这篇：(15条消息) 《图论：差分约束算法详解 + 算法证明》+ 模板题：糖果_wsh1931的博客-CSDN博客

首先他求的是最小值，所以我们要用最长路

假设：s[i]为从1 - i 中选择了多少个数

题目给的数据范围是从0 - 5000我们为了遍历到所有点，即建立超级源点可以将0 - 50000映射成1 - 50001；

由题意我们可以得到上述结论

1: s[0] = 0

2: s[i] - s[i - 1] <= 1（即第i个数最多只能选一个）-> s[i - 1] >= s[i] - 1;

3: s[b] - s[a - 1] >= c (a, b, c)为题目输入的从区间[a, b]中选择的数不少于c个 -> s[b] >= s[a - 1] + c

4: s[i] >= s[i - 1] (即从前i个数中选择的数比从前i - 1个数中选择的数多)

又因为答案肯定有解，所以不需要判断是否无解

然后我们验证一下从源点出发是不是可以遍历所有点由结论4可以我们可以从0 -> 1. 1-> 2......n - 1 -> n因此可以遍历所有点

建图的边数：结论2, 3, 4所需要建立的边数各位N所以总共需要建立3 * N条边

#include 
#include 
#include 
#include 
 
using namespace std;
 
const int N = 50010, M = 3 * N;
 
int n;
bool st[N];
int dist[N];
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
 
void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b;
    w[idx] = c;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx;
    idx ++ ;
}
 
void spfa()//求最小值用最长路
{
    memset(dist, -0x3f, sizeof dist);
    dist[0] = 0;
    
    queue<int> q;
    q.push(0);
    
    while (q.size())
    {
        auto t = q.front();
        q.pop();
        
        st[t] = false;
        
        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            
            if (dist[j] < dist[t] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if (!st[j])
                {
                    st[j] = true;
                    q.push(j);
                }
            }
        }
    }
}
 
int main()
{
    cin >> n;
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    for (int i = 1; i < N; i ++ )//结论2，4；
    {
        add(i, i - 1, -1);
        add(i - 1, i, 0);
    }
    
    int res = 0;
    while (n -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);
        a ++ , b ++ ;//将0 - 50000映射成1 - 50001
        res = max(res, b);//求出前res个数中至少选择了多少个数
        add(a - 1, b, c);
    }
    
    spfa();
    
    cout << dist[res] << endl;//前res个数中共选择了多少个数
    
    return 0;
}