数据结构：赫夫曼树

1. 基本介绍

• 给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度(wpl)达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为Huffman Tree
• 赫夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的节点离根较近。

2. 重要概念

1. 路径和路径长度：在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子节点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根节点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1
2. 节点的权及带权路径长度：若将树中节点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该节点的权。节点的带权路径长度为：从根节点到该节点之间的路径长度与该节点的权的乘积
3. 树的带权路径长度：树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL(weighted path length) ,权值越大的结点离根结点越近的二叉树才是最优二叉树。
4. WPL最小的就是赫夫曼树

3. 创建图解

• 数列 {13, 7, 8, 3, 29, 6, 1}，要求转成一颗赫夫曼树

1. 从小到大进行排序, 将每一个数据，每个数据都是一个节点 ， 每个节点可以看成是一颗最简单的二叉树，{1, 3, 6, 7, 8, 13, 29 }
2. 取出根节点权值最小的两颗二叉树
3. 组成一颗新的二叉树, 该新的二叉树的根节点的权值是前面两颗二叉树根节点权值的和
4. 再将这颗新的二叉树，以根节点的权值大小再次排序， 不断重复 1-2-3-4 的步骤，直到数列中，所有的数据都被处理，就得到一颗赫夫曼树

4. 代码实现

import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;
import java.util.List;

public class HuffmanTree {

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {13, 7, 8, 3, 29, 6, 1};
        Node huffmanTree = createHuffmanTree(arr);
        huffmanTree.preOrder();
    }

    /**
     * 创建赫夫曼树的方法
     *
     * @param arr 需要创建成赫夫曼树的数组
     * @return 创建后返回树的root节点
     */
    public static Node createHuffmanTree(int[] arr) {
        // 遍历数组，将arr的每个元素构成一个node放入List中
        List<Node> nodes = new ArrayList<>();
        for (int value : arr) {
            nodes.add(new Node(value));
        }
        while (nodes.size() > 1) {
            // 排序，从小到大
            Collections.sort(nodes);
            System.out.println("nodes = " + nodes);
            // 1.取出根节点权值最小和次小的2个节点
            Node leftNode = nodes.get(0);
            Node rightNode = nodes.get(1);
            // 2.构建新的二叉树
            Node parent = new Node(leftNode.value + rightNode.value);
            parent.left = leftNode;
            parent.right = rightNode;
            // 3.从List中删除处理过的节点
            nodes.remove(leftNode);
            nodes.remove(rightNode);
            // 4.将parent加入到List中
            nodes.add(parent);
        }
        // 返回树的根节点
        return nodes.get(0);
    }


    // 创建节点
    static class Node implements Comparable<Node> {
        int value;

        Node left;

        Node right;

        // 前序遍历
        public void preOrder() {
            System.out.println(this);
            if (this.left != null) {
                this.left.preOrder();
            }
            if (this.right != null) {
                this.right.preOrder();
            }
        }

        public Node(int value) {
            this.value = value;
        }

        @Override
        public String toString() {
            return "Node{" + "value=" + value + '}';
        }

        // 从小到大排序
        @Override
        public int compareTo(Node o) {
            return this.value - o.value;
        }
    }

}

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