【数学分析笔记04】数列与数列极限

引言

本科毕业以后越觉数学的奇妙，想弥补一下数学知识的证明，做点记录，方便后续查阅。

1.知识铺垫：数列与数列极限

---

定义2.2.1 设$x$是一给定数列，$a$是一个实常数。如果对于任意给定的$\epsilon >0$,可以找到自然数$N$,使得当$n>N$时，成立
$$\left|x_n-a\right|<\epsilon$$则称数列 { x n } \{x_n\} {xn​}收敛于$a$（或$a$是数列 { x n } \{x_n\} {xn​}的极限），记为
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$$有时也记为：
$$x_n\to a\left(n\to \infty \right)$$如果不存在实数$a$,使 { x n } \{x_n\} {xn​}收敛于$a$,则称数列 { x n } \{x_n\} {xn​}发散

在直角平面坐标系$Otx$的$x$轴上取以$a$为中心，$\epsilon$为半径的一个开区间
$(a-\epsilon ,a+\epsilon )$,称它为点$a$的$\epsilon$邻域，记为$O(a,\epsilon )$。
另外还有：
lim ⁡ n → ∞ x n    =    a   ⇔   { x n   −   a   } 是无穷小量 \operatorname*{lim}_{n\rightarrow\infty}x_{n}\;=\;a\,\Leftrightarrow\,\left\{x_{n}\,-\,a\,\right\}是无穷小量 n→∞lim​xn​=a⇔{xn​−a}是无穷小量

方法总结

证明数列极限是$a$关键是找$N$，因为数列的下标是个正整数所以要求$N$是个正整数，一般解法就是通过$x_n-a$来看是不是趋近零（是不是无穷小量）来进行判断。语言表述为：
$$\forall \epsilon >0,\exists N,\forall n>N,|x_n-a|<\epsilon$$通过上述的不等式找此时的$N$，一般解出$n>N^{\ast }$，$N^{\ast }$不一定是正整数，这时候进行取整，取整以后有两种情况，目标是得到一个正整数的$N$

• 如果是自然数，就再加1($N=[N^{\ast }]+1$)（如例2.2.1，具体可以看参考资料[1]p35，不再赘述）
• 如果可能是负数，就取一个正整数$K$和$[N^{\ast }]+1$的最大值， m a x { K , [ N ∗ ] + 1 } max\{K,[N^*]+1\} max{K,[N∗]+1}（如例2.2.2、例2.2.5，具体可以看参考资料[1]p35和p37，不再赘述）

必要时进行放大，$|x_n-a|<s/n^k<\epsilon$，$s$和$k$都是正整数。这样$n>\sqrt[k]{s/\epsilon }=N^{\ast }$就找到了$N^{\ast }$

---

例2.2.3 设$a>1$,求证：$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a}=1$$(本例摘自参考资料[1]p36 【第二章 第列极限 $\S 2$数列极限】)
$$【证明】$$

（这里主要讲下技巧找到$N$，剩下的和上面讲的方法总结是一致的。）
令$$\sqrt[n]{a}=1+y_n,y_n>0(n=1,2,3,\cdots )$$用二项式定理
$$a=(1+y_n{)}^n=1+n{y}_n+\frac{n(n-1)}{2}{y}_n^2+\cdots +y_n^n>1+n{y}_n$$于是有
$$\left|\sqrt[n]{a}-1\right|=\mid y_n\mid <\frac{a-1}{n}$$找到了$N^{\ast }=\frac{a-1}{n}$往后思路就明确了，参见上面的方法总结
证毕

---

例2.2.4 求证：$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n}=1$$(本例摘自参考资料[1]p36 【第二章 第列极限 $\S 2$数列极限】)
$$【证明】$$

（这里主要讲下技巧找到$N$，剩下的和上面讲的方法总结是一致的。）
令$$\sqrt[n]{n}=1+y_n,y_n>0(n=1,2,3,\cdots )$$用二项式定理
$$n=(1+y_n{)}^n=1+n{y}_n+\frac{n(n-1)}{2}{y}_n^2+\cdots +y_n^n>1+\frac{n(n-1)}{2}{y}_n^2$$于是有
$$\left|\sqrt[n]{n}-1\right|=\mid y_n\mid <\sqrt{\frac{2}{n}}$$找到了$N^{\ast }=\sqrt{\frac{2}{n}}$往后思路就明确了，参见上面的方法总结
证毕

---

例2.2.6 若$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$$求证：$$\underset{a\to \infty }{\lim }\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}=a$$(本例摘自参考资料[1]p37 【第二章 第列极限 $\S 2$数列极限】)

$$【证明】$$
笔记：先取特殊的$a=0$，极限为无穷小量，进行证明，然后对于一般的情况转换为$a_n-a$为无穷小量利用前面的结论证明。先特殊后一般的思想。

我们先假设$a=0$,即 { a n } \{a_n\} {an​}是无穷小量，则对任意给定的$\epsilon >0$,存在自然数$N_1$,当$n>N_1$时，成立$|a_n|<\frac{\epsilon }{2}$
现在$a_1+a_2+\dots +a_{N_1}$, 已经是一个固定的数了，因此可以取$N>N_1$,使得当$n>N$时成立
$$\left|\frac{a_1+a_2+\cdots +a_{N_1}}{n}\right|<\frac{\epsilon }{2}$$
于是利用三角不等式得到：
$$\begin{array}{rl}\left|\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\right|& =\left|\frac{a_1+a_2+\cdots +a_{N_1}}{n}+\frac{a_{N_1+1}+a_{N_1+2}+\cdots +a_n}{n}\right|\\ & \le \left|\frac{a_1+a_2+\cdots +a_{N_1}}{n}\right|+\left|\frac{a_{N_1+1}+a_{N_1+2}+\cdots +a_n}{n}\right|\\ & \le \frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon \end{array}$$
当$a\ne 0$时，则 { a n − a } \{a_n-a\} {an​−a}是无穷小量，于是
$$\begin{array}{rl}& \underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}-a\right)\\ =& \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left(a_1-a\right)+\left(a_2-a\right)+\cdots +\left(a_n-a\right)}{n}=0\end{array}$$
证毕

参考资料

[1]数学分析[M]. 高等教育出版社 , 陈纪修等[编著], 2004