【数据结构】二叉树 二叉树的深度优先遍历和广度优先遍历 完全二叉树和满二叉树的性质 二叉树的节点个数以及叶子节点个数

1. 树的概念及结构（了解）

1.1 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由 n（n >= 0）个有限个节点组成的一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为他看起来像一颗倒挂的树，也就是说，它是根朝上，而叶朝下的。
树的定义有两点： 1)有且仅有一个特定的称为根（root）的结点； 2）当结点数量>1时，其余结点可分为 若干个互不相交的有限集 ，其中每个集合也可以看作一颗树，称之为根的子树。

• 有一个特殊的节点，称为根节点（root），根节点没有前驱节点。
• 除根节点外，其余节点别分为M（M > 0）个互不相交的集合T1、T2……其中每一个集合又是一棵树结构与树类似的子树。每颗子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
• 树是递归定义的。

判断是否是一个树

• 子树是不相交的
• 出了根节点外，每个节点有且只有一个父节点
• 一颗N个节点的树有N-1条边

几个重要的知识点：

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的度为6，B的度为0
• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I、P……等都是叶节点
• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F……等节点为分支节点
• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的子节点
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点
• 树的度：一棵树中，最大节点的度称为树的度；如上图：树的度为6
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第一层，根的子节点为第二层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4
• 节点的祖先：从根到该节点所经的分支上所有的节点；如上图：A是所有节点的祖先
• 子孙：以某点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙；如上图：所有节点都是A的子孙
• 森林：有m（m>0）棵互不相交的多棵树的集合称为树；（数据结构中的学习并查集本质就是一个森林）

1.2 树的表示方法

树的结构相对线性表就相对复杂很多，要存储起来更加复杂。实际中树有很多种表示方法，如：双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法等等

1. 左孩子右兄弟表示法

typedef int DataType;
struct Node
{
	struct Node* firstChild1;//第一个孩子节点
	struct Node* pNextBrother;//指向下一个兄弟节点
	DataType data;//数据域
}
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2. 双亲表示法

1.3 树在实际中的应用

• 表示文件系统的目录

2. 二叉树的概念及节点（重点）

2.1 二叉树的概念

一棵二叉树是节点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

2.2 二叉树的特点

1. 每个节点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的节点
2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒

2.3 特殊的二叉树

• 满二叉树：一个二叉树，如果每一层的节点的度都打到最大数，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为k，且节点总数为（2^k）- 1，则他就是满二叉树
• 完全二叉树：完全二叉树是效率最高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引起的。对于深度为k的，有n个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的节点都一一对应时称为完全二叉树。注意：满二叉树是一种特殊的完全二叉树

2.5 二叉树的性质

1. 若规定根节点层数为1，则一颗非空二叉树的第i层上最多有2^(n-1)个节点（满二叉树）
2. 若规定根节点层数为1，则深度为h的二叉树最大节点数为2^h - 1（满二叉树）
3. 对任何一颗二叉树，如果度数为0的节点个数为n0，度为2的节点个数为n2，则有n0=n2+1
4. 若规定根节点层数为1，具有n个节点的满二叉树的深度，h = log2(N+1) （以2为底，（N+1）为对数）
   

相关习题：

解析2：

解析3：

2.6 二叉树的遍历

所谓遍历就是指沿着某条搜索路线，依次对树中的每个节点均做一次且仅做一次的访问。遍历二叉树是很重要的运算之一，是二叉树上进行其他运算的基础。

2.6.1 深度优先遍历

二叉树的前序、中序、后序遍历也称为深度优先遍历，因为他们都是先往下遍历的，而不管左右。

遍历方式：

• 前序遍历（NLR）：访问根节点的操作发生在遍历其左右子树之前（根左右）
• 中序遍历（LNR）：访问根节点的操作发生在遍历其左右子树之种（左根右）
• 后序遍历（LRN）：访问根节点的操作发生在遍历其左右子树之后（左右根）

代码实现：

#include 
#include 

typedef char BTDataType;

typedef struct BinaryTreeNode
{
	struct BinaryTreeNode* left;//左孩子
	struct BinaryTreeNode* right;//右孩子
	BTDataType data;//数据域
}BTNode;

void PrevOrder(BTNode* root)//前序
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	printf("%c ", root->data);
	PrevOrder(root->left);
	PrevOrder(root->right);
}

void InOrder(BTNode* root)//中序
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	InOrder(root->left);
	printf("%c ", root->data);
	InOrder(root->right);
}

void PostOrder(BTNode* root)//后序
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	PostOrder(root->left);
	PostOrder(root->right);
	printf("%c ", root->data);
}


int main()
{
	BTNode* A = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	A->data = 'A';
	A->left = NULL;
	A->right = NULL;

	BTNode* B = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	B->data = 'B';
	B->left = NULL;
	B->right = NULL;

	BTNode* C = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	C->data = 'C';
	C->left = NULL;
	C->right = NULL;

	BTNode* D = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	D->data = 'D';
	D->left = NULL;
	D->right = NULL;

	BTNode* E = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	E->data = 'E';
	E->left = NULL;
	E->right = NULL;

	A->left = B;
	A->right = C;
	B->left = D;
	B->right = E;

	PrevOrder(A);
	printf("\n");

	InOrder(A);
	printf("\n");

	PostOrder(A);
	printf("\n");

	system("pause");
	return 0;
}
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我们主要要了解具体递归的顺序，我们可以自己在纸上画一画

2.6.2 广度优先遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在的层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的根节点，然后从左到右访问第二层上的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的节点的过程就是层序遍历，也称为广度优先遍历。

二叉树的广度优先遍历思想：我们利用队列（先进先出），上一层出的时候带着下一层进

//层序遍历	广度优先遍历
void LevelOrder(BTNode* root)
{
	//核心思想——上一层出的时候带下一层节点进
	queue<BTNode*> q;//创建队列容器
	if (root)
	{
		q.push(root);//入队
	}
	while (!q.empty())
	{
		BTNode* front = q.front();
		q.pop();
		printf("%c ", front->data);
		if (front->left)
		{
			q.push(front->left);
		}
		if (front->right)
		{
			q.push(front->right);
		}
	}
	printf("\n");
}
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二叉树遍历的例题：

答案为：A A D

2.7 计算二叉树的节点个数

很多人看到计算二叉树的节点个数，心想那么简单，直接遍历一下二叉树不就好了吗。

//节点个数
int size = 0;
void TreeSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}
	else
	{
		size++;
	}
	TreeSize(root->left);
	TreeSize(root->right);
}
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其实，vs2022已经报错了，为什么呢？因为我们定义了一个全局的size，在我们计算了节点为A的节点个数时，得到的大小是5，但是在计算节点为B的节点个数为8,。就是因为我们这个变量A是个全局变量，会累加的。

void TreeSize(BTNode* root, int* psize)
{
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}
	else
	{
		++(*psize);
	}
	TreeSize(root->left, psize);
	TreeSize(root->right, psize);
}


	int Asize = 0;
	TreeSize(A, &Asize);
	printf("TreeSize(A): %d", Asize);

	int Bsize = 0;
	TreeSize(B, &Bsize);
	printf("TreeSize(A): %d", Bsize);
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我们要记得把地址传过去。
但是，如果我们知道多线程的时候，程序在运行时，可能有多个进程在同时进行，我们就无法保证在求一个节点的数时的节点前，先把size赋值为0了。怎么办呢？看下面的代码就很好的解决了这个问题。

//返回节点个数
int TreeSize(BTNode* root)
{
	return root == NULL ? 0 : TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}
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这个程序很巧，我们求一棵二叉树节点个数，就计算它左子树节点个数 + 右子树节点个数 + 1（根节点）

2.8 计算二叉树叶子节点个数

计算叶子节点个数和求节点个数的思想是一样的

//求叶子节点个数
int TreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	if (root->left == NULL && root->right == NULL)
		return 1;
	return TreeLeafSize(root->left) + TreeLeafSize(root->right);
}
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