最大公约数——Hankson的趣味题（线筛法求质数+gcd+质因数组合搜索约数）

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思路:题目中给定的条件是gcd(a,x)=a1, lcm(b,x)=b1;

容易发现x一定是b1的约数，所以可以尝试求出b1的所有约数看一下是否满足上面两个条件。

1.试除法求约数,题目多测试样例，时间复杂度为O(n * √b1 * logb1)，经测试，以下代码有一个样例过不了。

#include
#include
#include
using namespace std;
typedef pair<int,int>PII;
typedef long long ll;
const int N=1e5;
int factor[N],cnt;
int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        int a,b,a1,b1;
        cin>>a>>a1>>b>>b1;
        int d=b1;
        cnt=0;
        for(int i=1;i*i<=d;i++)
        {
            if(d%i==0)
            {
                factor[++cnt]=i;
                if(i!=d/i)
                    factor[++cnt]=d/i;
            }
        }
        int sum=0;
        for(int i=1;i<=cnt;i++)
        {
            int x=factor[i];
            if(gcd(x,a)==a1&&(ll)b*x/gcd(b,x)==b1)
                sum++;
        }
        cout<
    }
    return 0;
}

2.预处理出1~√2e9的所有质数，求出b1的所有质因数及其个数，其中质因数的个数不会超过9个，

2*3*5*7*11*13*17*19*23*29=6469693230为60多亿，远大于题目给的20亿。再在质因数中搜索所有的约数。

由约数——正约数个数求法及其原理，求N的正约数集合_北岭山脚鼠鼠的博客-CSDN博客

中试除法推论可知，一个数的约数个数最多为2*（√N)

但实际上，一个数的约数个数远没有这么多，20亿以内约数个数最多的数的约数个数为1536。

 因此搜索约数的次数实际很少。

第一步：预处理1~√2e9的所有质数，时间复杂度为O(√2e9)，

第二步：在质数数组中找出b1的所有质因数。

第三步：搜索约数。

第四步：遍历约数数组看是否满足两个条件。

#include
#include
#include
using namespace std;
typedef pair<int,int>PII;
typedef long long ll;
const int N=1e5;
int primes[N],cntp;
PII factor[2000];
bool st[N];
int cntf;
int d[N],cntd;
void dfs(int u,int p)//u是当前找到了第几个约数，p是当前的约数大小。
{
    if(u>cntf)
    {
        d[++cntd]=p;
        return ;
    }
    for(int i=0;i<=factor[u].second;i++)
    {
        dfs(u+1,p);
        p*=factor[u].first;
    }
}
void get_primes(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!st[i]) primes[++cntp]=i;
        for(int j=1;primes[j]<=n/i;j++)
        {
            st[primes[j]*i]=true;
            if(i%primes[j]==0) break;
        }
    }
}
int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
    get_primes(N);
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        int a,b,a1,b1;
        cin>>a>>a1>>b>>b1;
 
        int d1=b1;
        cntf=0;
        for(int i=1;primes[i]<=d1/primes[i];i++)
        {
            if(d1%primes[i]==0)
            {
                int s=0;
                while(d1%primes[i]==0) s++,d1/=primes[i];
                factor[++cntf]={primes[i],s};
            }
        }
        if(d1>1) factor[++cntf]={d1,1};
        cntd=0;
        int sum=0;
        dfs(1,1);
        for(int i=1;i<=cntd;i++)
        {
            int x=d[i];
            if(gcd(x,a)==a1&&(ll)b*x/gcd(b,x)==b1)
                sum++;
        }
        cout<
    }
    return 0;
}