Leetcode 337. 打家劫舍 III

1.题目描述

小偷又发现了一个新的可行窃的地区。这个地区只有一个入口，我们称之为 root 。

除了 root 之外，每栋房子有且只有一个“父“房子与之相连。一番侦察之后，聪明的小偷意识到“这个地方的所有房屋的排列类似于一棵二叉树”。 如果 两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫 ，房屋将自动报警。

给定二叉树的 root 。返回 在不触动警报的情况下 ，小偷能够盗取的最高金额 。

输入: root = [3,2,3,null,3,null,1]
输出: 7
解释: 小偷一晚能够盗取的最高金额 3 + 3 + 1 = 7

输入: root = [3,4,5,1,3,null,1]
输出: 9
解释: 小偷一晚能够盗取的最高金额 4 + 5 = 9

提示：

• 树的节点数在 [1, $10^4$] 范围内
• 0 <= Node.val <= $10^4$

2.思路分析

简化问题：一棵二叉树，树上的每个点都有对应的权值，每个点有两种状态（选中和不选中），问在不能同时选中有父子关系的点的情况下，能选中的点的最大权值和是多少。

2.1 暴力递归

• 首先要明确相邻的节点不能偷，也就是爷爷选择偷，儿子就不能偷了，但是孙子可以偷
• 二叉树只有左右两个孩子，一个爷爷最多 2 个儿子，4 个孙子

根据以上条件，可以得出单个节点的钱计算方法：

4 个孙子偷的钱 + 爷爷的钱 VS 两个儿子偷的钱 哪个组合钱多，就当做当前节点能偷的最大钱数。这就是动态规划里面的最优子结构

2.2 记忆化递归

对于解法一，经过分析其实现，我们发现爷爷在计算自己能偷多少钱的时候，同时计算了 4 个孙子能偷多少钱，也计算了 2 个儿子能偷多少钱。这样在儿子当爷爷时，就会产生重复计算一遍孙子节点。

由于二叉树不适合拿数组当缓存，我们这次使用哈希表来存储结果，TreeNode 当做 key，能偷的钱当做 value。

2.3 动态规划

从递归的方法中，我们可以发现，最终最大收益为4 个孙子偷的钱 + 爷爷的钱 VS 两个儿子偷的钱 组

合中的最大值。

即为 每个子树都有最优解：偷窃根节点 和 不偷窃根节点下的最优解。

我们重新定义这个问题，每个节点可以选择偷或者不偷，那么相连节点不能一起偷，那么：

• 如果当前节点选择偷窃时，左右子节点不选择偷；
• 如果当前节点选择不偷时，左右子节点主要能获得最优解就行。

定义数组存储两个状态，索引 0 表示不偷，索引 1 表示偷。那么每个节点能偷到最大金额可定义为：

• 当前节点选择偷窃时，最大金额数 = 左子节点不偷能获得的最大金额 + 右子节点不偷能获得的最大金额 + 当前节点的金额
• 当前节点选择不偷时，最大金额 = 左子节点能偷的最大金额 + 右子节点能偷的最大金额。

状态转移公式为:

# 当前节点不偷
money[0] = max(rob(root.left)[0], rob(root.left)[1])
       + max(rob(root.right)[0], rob(root.right)[1])
# 当前节点偷
money[1] = rob(root.left)[0] + rob(root.right)[0] +  root.val
1
2
3
4
5

3.代码实现

3.1 暴力递归(超时)

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#         self.val = val
#         self.left = left
#         self.right = right
class Solution:
    def rob(self, root: Optional[TreeNode]) -> int:
        # 存在重复计算的情况
        if not root:
            return 0
        money = root.val
        if root.left:
            money += (self.rob(root.left.left) + self.rob(root.left.right))
        if root.right:
            money += (self.rob(root.right.left) + self.rob(root.right.right))
        return max(money, self.rob(root.left) + self.rob(root.right))
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

3.2 记忆化递推

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#         self.val = val
#         self.left = left
#         self.right = right
class Solution:
    def rob(self, root: Optional[TreeNode]) -> int:
        # 存储计算结果
        money_map = dict()

        def dfs(root: Optional[TreeNode]) -> int:
            if not root:
                return 0
            # 如果存在于哈希表中，直接拿过来用
            if root in money_map:
                return money_map[root]
            money = root.val
            if root.left:
                # 偷窃根节点时，无法偷取子节点，那么偷窃子孙节点
                money += dfs(root.left.left) +dfs(root.left.right)
            if root.right:
                money += dfs(root.right.left) + dfs(root.right.right)
            result = max(money, dfs(root.left) + dfs(root.right))
            money_map[root] = result
            return result
        return dfs(root)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)。
• 空间复杂度：O(n)。

3.3 动态规划

# class TreeNode:
#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#         self.val = val
#         self.left = left
#         self.right = right
class Solution:
    def rob(self, root: Optional[TreeNode]) -> int:
        def dfs(root: Optional[TreeNode]) -> List[int]:
            # [不偷当前节点, 偷当前节点]
            if not root:
                return [0, 0]
            money = [0, 0]
            left = dfs(root.left)
            right = dfs(root.right)
            # 两个索引对应两种状态，索引 0 表示不偷，索引 1 表示偷
            # 当前节点不偷
            money[0] = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1])
            # 当前节点偷
            money[1] = left[0] + right[0] + root.val
            return money

        result = dfs(root)
        return max(result[0], result[1])
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)。
• 空间复杂度：O(n)。

参考:

1.https://leetcode.cn/problems/house-robber-iii/solution/san-chong-fang-fa-jie-jue-shu-xing-dong-tai-gui-hu/

2.https://pythontechworld.com/article/detail/338WcgSwSzyk