【高等数学基础进阶】不定积分-练习 & 定积分与反常积分-补充

不定积分

例：设$f({\sin }^{2}x)=\frac{x}{\sin x}$，求$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}f(x)dx$

令$u={\sin }^{2}x$，则有
$$\sin x=\sqrt{u},x=\arcsin \sqrt{u},f(x)=\frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$$
代入得
∫ x 1 − x f ( x ) d x = ∫ arcsin ⁡ x 1 − x d x = − 2 ∫ arcsin ⁡ x d 1 − x = − 2 1 − x arcsin ⁡ x + 2 ∫ 1 − x 1 1 − x d x = − 2 1 − x arcsin ⁡ x + 2 x + C

∫1−x ​x ​​f(x)dx​=∫1−x ​arcsinx ​​dx=−2∫arcsinx ​d1−x ​=−21−x ​arcsinx ​+2∫1−x ​1−x ​1​dx ​=−21−x ​arcsinx ​+2x ​+C​

定积分的几何意义

设${\int }_a^{b}f(x)dx$存在

• 若在$[a,b]$上$f(x)\ge 0$，则${\int }_a^{b}f(x)dx$的值等于以曲线$y=f(x),x=a,x=b$及$x$轴围成的曲边梯形的面积
• 若在$[a,b]$上$f(x)\le 0$，则${\int }_a^{b}f(x)dx$的值等于以曲线$y=f(x),x=a,x=b$及$x$轴围成的曲边梯形的面积的负值
• 若在$[a,b]$上$f(x)$的值有正有负，则${\int }_a^{b}f(x)dx$的值等于$x$轴上方的面积减去$x$轴下方的面积所得之差

变上限积分

例16：求极限 lim ⁡ x → 0 + ∫ 0 x x − t e t d t x 3

x→0+lim​x3 ​∫0x​x−t ​etdt​​

注意该积分中值定理要求$f(x),g(x)$连续，且$g(x)$不变号

原式 = lim ⁡ x → 0 + e ξ ∫ 0 x x − t d t x 3 = lim ⁡ x → 0 + − 2 3 ( x − t ) 3 2 ∣ 0 x x 3 = lim ⁡ x → 0 + 2 3 x 3 2 x 3 2 = 2 3

原式​=x→0+lim​x3 ​eξ∫0x​x−t ​dt​=x→0+lim​x3 ​−32​(x−t)23​∣ ∣​0x​​=x→0+lim​x23​32​x23​​=32​​

不一定对$t$积分含有$x$就一定要把$x$弄出来，把$x$当做常数能积出来就不需要其他操作

无界函数的反常积分

反常积分在某区间收敛，即意味着该反常积分在积分区间的任一子区间都收敛

定积分应用没啥补充
说一下如果题目比较简单，带一般的公式就行，大部分题用公式都能算出来，不太需要二重积分，如果用公式做不出来，再考虑二重积分的方法
物理应用上注意理解元素法，会用$dx,dy$，求出一小个元素的参数然后积分就行