数学建模—灰色关联分析

1、灰色关联分析概述

对于多因素共同决定的抽象系统，人们往往希望知道，哪些是主要因素，哪些是次要因素；哪些因素对系统的发展影响较大，哪些因素对系统的影响较小。从而需要对系统进行分析。

数理统计中常用的回归分析，主成分分析，分差分析存在不足之处：

（1）要求有大量的数据，数据量少就难以找到规律。

（2）要求样本服从典型的概率分布，要求各因素与系统特征数据之间呈线性关系，这种要求往往难以满足。

（3）可能出现量化结果和定性分析不相符的情况。

灰色关联分析的基本思想：根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线形状越接近，相应序列之间的关联度就越大，反之就越小。

具体应用：分析产业对GDP的影响程度

下表为某地区国内生产总值的统计数据（以百万元计），问该地区从2000年到2005年之间哪一种产业对GDP总量影响最大。

第一步：对以上变量进行统计分析

 分析：

（1）四个产业均呈上升趋势；（2）第二产业增幅明显；（3）第二产业和第三产业后两年差距拉大；（4）第一产业平稳增长。

第二步：确定分析数列

（1）母系列（又称参考系列、母指标）：能反映系统行为特征的数据系列（类似于因变量Y，此处记为X0）。

（2）子序列（又称为比较序列，子指标）：影响系统行为的因素组成的数据系列（类似于自变量X）。

在本例中，国内生产总值是母序列，其他产业是子序列。

第三步：对变量进行预处理（两个目的：去量纲，缩小变量范围简化计算）

对母序列和子序列中的每个指标进行预处理：先求出每个指标的均值，再用该指标中的每个元素除以该均值。

 第四步：计算各指标与母序列的关联系数

记：x0=(0.7320, 0.7588, 0.8597......1.4013)；x1=(0.8361, 0.8838, ......., 1.2152)；x2=(......)；x3=(......)；记两级最小差：a = min(min(xi(k)-x0(k)))，记两极最大差：b=max(max(xi(k)-x0(k)))；

 定义：，为分辨系数一般去0.5

 第五步：对得到的y进行求平均就得到了灰色关联度。

第六步：通过比较三个子序列和母序列的关联度可以得出：该地区在2000年-2005年间的国内生产总值受到第三产业的影响最大（因为其灰色关联度最大）。

讨论：（1）什么时候用标准化回归，什么时候用灰色关联分析？

当样本个数比较大的时候用标准化回归，当样本个数比较小的时候用灰色关联分析。

（2）如果母序列中有多个指标，应该怎么分析？

例如：y1, y2是母序列，x1,x2.....xn是子序列

那么我们首先计算y1和x1,x2.....xn灰色关联分析，再求y1和x1,x2.....xn灰色关联分析

对应代码：

%%灰色关联分析
clear;clc
load gdp.mat %导入数据矩阵
Mean = mean(gdp); % 求出每一列的均值以供后续数据预处理
gdp = gdp./repmat(Mean,size(gdp,1),1); % size(gdp,1)=6,计算gdp矩阵的行数
% repmat(Mean,6,1)，可以将函数进行扩展，扩展与gdp同型的矩阵，然后进行点除
disp("预处理后的矩阵为：");
disp(gdp)
y = gdp(:,1); %母序列
x = gdp(:,2:end); %子序列
absx0_xi = abs(x - repmat(y,1,size(x,2)))  % 计算|X0-Xi|矩阵(在这里我们把X0定义为了Y)
a = min(min(absx0_xi)); %计算两级最小差
b = max(max(absx0_xi)); %计算两级最大差
rho = 0.5;
gmma = (a + rho*b)./(absx0_xi + rho*b) %计算子序列各个指标和母序列的灰色关联系数
disp("子序列与母指标的各个关联系数为：")
disp(mean(gmma))