高等数学（第七版）同济大学 习题6-3 个人解答

高等数学（第七版）同济大学 习题6-3

函数作图软件：Mathematica

 

$\begin{array}{rlr}& 1.由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力F（单位：N）与伸长量s（单位：cm）成正比，& \\ & & \\ & 即F=ks（k是比例常数）.如果把弹簧由原长拉伸6cm，计算所作的功.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& W={\int }_0^{6}ksds=18k(N\cdot cm)=0.18k(J)& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 2.直径为20cm、高为80cm的圆筒内充满压强为10N/c{m}^2的蒸汽。设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小& \\ & & \\ & 一半，问需要作多少功？& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 根据pV=k为常数，得出k=10\cdot 100^2\cdot \pi \cdot 0.1^2\cdot 0.8=800\pi ，设圆筒内高度减少hm时蒸汽的压强为p(h)N/m^2，& \\ & & \\ & 得p(h)=\frac{k}{V}=\frac{800\pi }{(0.8-h)S}，压力为P=p(h)S=\frac{800\pi }{0.8-h}，要作的功为W={\int }_0^{0.4}\frac{800\pi }{0.8-h}dh=& \\ & & \\ & 800\pi [-ln(0.8-h){]}_0^{0.4}=800\pi ln2\approx 1742(J)& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 3.& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (1)证明：把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是W=\frac{mgRh}{R+h}，其中g是重力加速度，& \\ & & \\ & R是地球的半径；& \\ & & \\ & (2)一颗人造地球卫星的质量为173kg，在高于地面630km处进入轨道。问把这颗卫星从地面送到630km的高空处，& \\ & & \\ & 克服地球引力要作多少功？已知g=9.8m/s^2，地球半径R=6370km.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& (1)质量为m的物体与地球中心相距x时，引力为F=G\frac{mM}{x^2}，根据mg=G\frac{mM}{R^2}，得G=\frac{R^{2}g}{M}，所作的功& \\ & & \\ & 为W={\int }_R^{R+h}\frac{mg{R}^2}{x^2}dx=mg{R}^2\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+h}\right)=\frac{mgRh}{R+h}.& \\ & & \\ & (2)所作的功为W=\frac{mgRh}{R+h}=971973\approx 9.72\times 10^5(kJ).& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 4.一物体按规律x=c{t}^3做直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比。计算物体由x=0移至x=a时，& \\ & & \\ & 克服介质阻力所作的功.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 速度为v=\frac{dx}{dt}=3c{t}^2，阻力为R=k{v}^2=9k{c}^2{t}^4，得dW=Rdx=27k{c}^3{t}^{6}dt，设当t=T时，x=a，& \\ & & \\ & 得T={\left(\frac{a}{c}\right)}^{\frac{1}{3}}，所作的功为W={\int }_0^{T}27k{c}^3{t}^{6}dt=\frac{27k{c}^3}{7}{T}^7=\frac{27}{7}k{c}^{\frac{2}{3}}{a}^{\frac{7}{3}}& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 5.用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在击第一次时，& \\ & & \\ & 将铁钉击入木板1cm.如果铁锤每次锤击铁钉所作的功相等，问锤击第二次时，铁钉又击入木板多少？& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 设木板对铁钉的阻力为R，则铁钉击入木板的深度为h时的阻力为R=kh，其中k为常数。铁锤第一次击入所作& \\ & & \\ & 的功为W_1={\int }_0^{1}Rdh={\int }_0^{1}khdh=\frac{1}{2}k，设铁锤第二次击入，铁钉击入h_{0}cm，则铁锤第二次击入所作的功为& \\ & & \\ & W_2={\int }_1^{1+h_0}Rdh={\int }_1^{1+h_0}khdh=\frac{1}{2}k[(1+h_0{)}^2-1]，根据条件可知W_1=W_2，得h_0=\sqrt{2}-1.& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 6.设一圆锥形贮水池，深15m，口径20m，盛满水，今以泵将水吸尽，问要作多少功？& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 取高度h为积分变量，它的变化区间为[0,15]，对该区间的任一小区间[h,h+dh]，体积为\pi {\left(\frac{10}{15}h\right)}^{2}dh，& \\ & & \\ & 记\gamma 为水的密度，得所作的功为W={\int }_0^{15}\frac{4}{9}\pi \gamma g{h}^2(15-h)dh=1875\pi \gamma g\approx 5.76975\times 10^7(J)& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 7.有一闸门，它的形状和尺寸如图6-32所示，水面超过门顶2m，求闸门上所受的水压力.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 设水深xm的地方压强为p(x)，则p(x)=1000gx，取x为积分变量，它的变化区间为[2,5]，对该区间& \\ & & \\ & 的任一小区间[x,x+dx]，压力为dF=p(x)dS=2p(x)dx=2000gxdx，得闸门上所受的水压力为& \\ & & \\ & F={\int }_2^{5}2000gxdx=1000g[x^2{]}_2^5=21000g(N)\approx 205.8(kN).& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 8.洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，尺寸如图6-33所示。当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所受的压力.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 以侧面椭圆长轴为x轴，短轴为y轴建立坐标系，该椭圆方程为x^2+\frac{y^2}{0.75^2}=1，取y为积分变量，它的变化& \\ & & \\ & 区间为[-0.75,0.75]，对该区间的任一小区间[y,y+dy]，该小区间相应的水深为0.75-y，则相应面积为& \\ & & \\ & dS=2\sqrt{1-\frac{y^2}{0.75^2}}dy，得该小区间相应的压力dF=1000g(0.75-y)dS=2000g(0.75-y)\sqrt{1-\frac{y^2}{0.75^2}}dy，& \\ & & \\ & 因此所受压力为F={\int }_{-0.75}^{0.75}2000g(0.75-y)\sqrt{1-\frac{y^2}{0.75^2}}dy\approx 17318(N)\approx 17.3(kN).& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 9.有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和6m，高为20m.较长的底边与水面相齐.计算闸门的一侧& \\ & & \\ & 所受的水压力.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 建立如图坐标系，右侧直线方程为y=10x-50，取y为积分变量，它的变化区间为[-20,0]，对应小区间& \\ & & \\ & [y,y+dy]的面积近似值为2xdy=\left(\frac{y}{5}+10\right)dy，\gamma 表示水的密度，得水压力为& \\ & & \\ & P={\int }_{-20}^0\left(\frac{y}{5}+10\right)(-y)\gamma gdy=1.4373\times 10^7(N)=14373(kN).& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 10.一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而& \\ & & \\ & 顶离水面3cm，试求它每面所受的压力.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 建立如图坐标系，取三角形顶点为原点，取x为积分变量，它的变化区间为[0,0.06]，知三角形右下点坐标& \\ & & \\ & 为(0.06,0.04)，因此三角形右边直线方程为y=\frac{2}{3}x，对应小区间[x,x+dx]的面积近似值为& \\ & & \\ & dS=2\cdot \frac{2}{3}x\cdot dx=\frac{4}{3}xdx，记\gamma 为水的密度，则在x处的水压强为p=\gamma g(x+0.03)=1000g(x+0.03)，& \\ & & \\ & 得水压力为F={\int }_0^{0.06}1000g(x+0.03)\cdot \frac{4}{3}xdx=0.168g\approx 1.65(N)& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 11.设有一长度为l、线密度为\mu 的均匀细直棒，在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M，& \\ & & \\ & 试求这细棒对质点M的引力.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 建立如图坐标系，取y为积分变量，它的变化区间为[0,l]，对应小区间[y,y+dy]与质点M的引力的大小的& \\ & & \\ & 近似值为dF=G\frac{m\mu dx}{r^2}，其中r=\sqrt{a^2+x^2}，把该力分解，得x轴、y轴方向的分量为& \\ & & \\ & d{F}_x=-\frac{a}{r}dF=-G\frac{am\mu }{(a^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}dx，d{F}_y=\frac{x}{r}dF=G\frac{m\mu x}{(a^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}dx，因此F_x={\int }_0^l-G\frac{am\mu }{(a^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}dx，& \\ & & \\ & 令x=atant，得{\int }_0^l-G\frac{am\mu }{(a^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}dx=-G\frac{m\mu }{a}{\int }_0^{arctan\frac{l}{a}}costdt=-\frac{Gm\mu l}{a\sqrt{a^2+l^2}}，& \\ & & \\ & F_y={\int }_0^{l}G\frac{m\mu x}{(a^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}dx={\left[-G\frac{m\mu }{(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{2}}}\right]}_0^l=m\mu G\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{\sqrt{a^2+l^2}}\right)& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 12.设有一半径为R、中心角为\phi 的圆弧形细棒，其线密度为常数\mu 。在圆心处有一质量为m的质点M。& \\ & & \\ & 试求这细棒对质点M的引力.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 建立如图坐标系，虚线夹角为\phi ，相应小区间[\theta ,\theta +d\theta ]的弧长为Rd\theta ，根据对称性可知所求的铅直方向引力分量& \\ & & \\ & 为零，水平方向的引力分量为F_x={\int }_{\frac{\phi }{2}}^{\frac{\phi }{2}}cos\theta \frac{Gm\mu Rd\theta }{R^2}=\frac{2Gm\mu }{R}sin\frac{\phi }{2}，则所求引力大小为\frac{2Gm\mu }{R}sin\frac{\phi }{2}，方向& \\ & & \\ & 为M指向圆弧中心& \end{array}$