算法学习-动态规划-背包问题

背包问题

参考

1、https://blog.csdn.net/qq_54847231/article/details/123850995

2、https://blog.csdn.net/qq_41765114/article/details/88412863

1、01背包问题

描述

一共n件物品，背包容量为v，求将哪些物品装入背包，求解如何装，使得背包内总价值最大

0< N,V ≤ 1000

示例

二维

void bag2() {
    int n;
    cin >> n;
    int v;
    cin >> v;
    int dp[n+1][v+1];
    int vv[n+1],ww[n+1];
    for(int i = 1; i <= n ; i++) {
        cin >> vv[i] >> ww[i];
        dp[i][0] = 0;
    }
    for(int i = 0 ; i <= v ; i++) {
        dp[0][i] = 0;
    }
    for(int i = 1; i <= n ; i++) {
        //j为假设背包上限
        for(int j = 1; j <= v ; j++) {
            //当背包容量为j，判断是否能装下当前物品
            if(j < vv[i]) {
                //放不下i件物品，则不再放
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            } else {
                //判断替换或增加一件物品与不放物品时的价值
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j - vv[i]] + ww[i]);
            }
        }
    }
    cout << dp[n][v] << endl;
}
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一维

void bag1() {
    //n件物品，容量为m
    int n,m;
    cin >> n >> m;
    int dp[m+1];
    for(int i = 0 ; i <= m ; i++) 
        dp[i] = 0;
    int v,w;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
        cin >> v >> w;
        //从大到小遍历，即所有东西只装一件
        for(int j = m ; j >= 0; j--) {
            if(j < v)
                break;
            //如果可以装下，判断换个物品的价值
            dp[j] = max(dp[j],dp[j - v] + w);
        }
    }
    cout << dp[m];
}
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2、完全背包问题

描述

一共n件物品，背包容量为v，求将哪些物品装入背包，求解如何装，使得背包内总价值最大

每件物品都无限件可用

0< N,V ≤ 1000

示例

二维

void bag2() {
    //物品种数和背包容积
    int n,m;
    cin >> n >> m;
    int v[n+1],w[n+1];
    int dp[n+1][m+1];
    //体积和价值
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> v[i] >> w[i];
    }
    //初始化状态数组
    for(int i = 0; i <= n; i++)
        for(int j = 0; j <= m; j++)
            dp[i][j] = 0;

    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 0; j <= m; j++) { 
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
            if(j >= v[i])
                dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i][j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    cout << dp[n][m] << endl;
}
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一维

void bag1() {
    int n,m;
    cin >> n >> m;
    int dp[m+1];
    for(int i = 0; i <= m; i++)
        dp[i] = 0;
    int v,w;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> v >> w;
        for(int j = v ; j <= m; j++) {
            dp[j] = max(dp[j],dp[j - v] + w);
        }
    }
    cout << dp[m] << endl;
}
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3、多重背包问题

描述

一共n件物品，背包容量为v，求将哪些物品装入背包，求解如何装，使得背包内总价值最大

每件物品都无限件可用

0< N,V ≤ 100

示例

二维

void bag2(){
    int n,m;
    cin >> n >> m;
    int v,w,s;
    list vv,ww;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        //输入大小、价值、个数
        cin >> v >> w >> s;
        //以1、2、4...的倍数放入物品
        for(int j = 1; j <= s; ) {
            vv.push_back(j*v);
            ww.push_back(j*w);
            s -= j;
            j *= 2;
        }
        //最后多余的物品为一组
        if(s > 0) {
            vv.push_back(s*v);
            ww.push_back(s*w);
        }
    }
    list::iterator itv=vv.begin();
    list::iterator itw=ww.begin();
    int dp[vv.size()+1][m+1];
    for(int i = 0; i <= vv.size(); i++)
        dp[i][0] = 0;
    for(int i = 0; i <= m; i++)
        dp[0][i] = 0;
    //01背包
    for(int i = 1; i <= vv.size(); i++) {
        for(int j = 1; j <= m; j++) {
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
            if(j >= *itv)
                dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j-*itv] + *itw);
        }
        itv++;
        itw++;
    }
}
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一维

void bag1() {
    
    int n,m;
    cin >> n >> m;
    int v,w,s;
    list vv,ww;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        //输入大小、价值、个数
        cin >> v >> w >> s;
        //以1、2、4...的倍数放入物品
        for(int j = 1; j <= s; ) {
            vv.push_back(j*v);
            ww.push_back(j*w);
            s -= j;
            j *= 2;
        }
        //最后多余的物品为一组
        if(s > 0) {
            vv.push_back(s*v);
            ww.push_back(s*w);
        }
    }
    list::iterator itv=vv.begin();
    list::iterator itw=ww.begin();
    int dp[m+1];
    for(int i = 0; i <= m; i++)
        dp[i] = 0;
    //01背包
    for(int i = 1; i <= vv.size(); i++) {
        for(int j = m; j >= 0; j--) {
            if(j >= *itv)
                dp[j] = max(dp[j],dp[j-*itv] + *itw);
        }
        itv++;
        itw++;
    }
}
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4、分组背包问题

描述

一共n组物品，背包容量为v，求将哪些物品装入背包，求解如何装，使得背包内总价值最大

每组有若干件物品，同组内最多选一个

每件物品体积为ij，i是组号，j是组内编号

0< N,V ≤ 100

示例

//输入
3 5		//n组，容量v
2		//i组有s件物品
1 2
2 4
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3 4
1
4 5
   
//输出
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二维

void bag2() {
    int n,m;
    cin >> n >> m;
    int v[n+1][201],w[n+1][201];
    int s[n+1];
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> s[i];
        v[i][0] = 0;
        w[i][0] = 0;
        for(int j = 1;j <= s[i]; j++) {
            cin >> v[i][j] >> w[i][j];
        }
    }

    int dp[n+1][m+1];
    for(int i = 0; i <= m; i++)
        dp[0][i] =0;
    for(int i = 0; i <= n; i++)
        dp[i][0] =0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j <= m; j++) {
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
            //加个组循环（类似于完全背包问题）
            for(int k = 0;k <= s[i]; k++) {
                if(j >= v[i][k])
                    dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i][k]] + w[i][k]);
            }
        }
    }
}
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一维

void bag1() {
    int n,m;
    cin >> n >> m;
    int v[n+1][201],w[n+1][201];
    int s[n+1];
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> s[i];
        v[i][0] = 0;
        w[i][0] = 0;
        for(int j = 1;j <= s[i]; j++) {
            cin >> v[i][j] >> w[i][j];
        }
    }

    int dp[m+1];
    for(int i = 0; i <= m; i++)
        dp[i] =0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = m; j >= 0; j--) {
            for(int k = 0;k <= s[i]; k++) {
                if(j >= v[i][k])
                    dp[j] = max(dp[j],dp[j-v[i][k]] + w[i][k]);
            }
        }
    }
}
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5、最优装配

给出 n 个物体，重量分别为 wi，使总重量不超过容量 C 的情况下选择尽量多的物体。

只需要使用贪心算法

示例

代码

void bag() {
    int n,m;
    cin >> n >> m;
    int w[n];
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> w[i];
    }
    //排序，从小到大
    sort(w,w+n);
    int sum = 0;
    for(int i = 0; (sum + w[i]) <= m; i++) {
        sum += w[i];
        cout << w[i] <<"  ";
    }
    cout << endl;
}
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6、部分背包问题

有 n 个物体，重量分别为 wi，价值为 vi，在总重量不超过容量 C 的情况下让总价值最高，

每个物体可以只取走一部分，若取走部分物体则价值也会等比例减少。

计算每件物品的性价比，先取性价比更高的物品

示例

//输入
4 9
1 2		//2
2 4		//2
4 4		//1
4 5		//1.25
//输出
1  2  1
2  4  3
4  5  7
0.5  2  2
1
2
3
4
5
6
7
8
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11

struct Stuff{
    int weight;
    int value;
    float rate;
    bool operator < (Stuff other) const {
        return rate > other.rate;
    }
};

void bag() {
    int n,m;
    cin >> n >> m;
    Stuff* stuff = new Stuff[n];
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> stuff[i].weight >> stuff[i].value;
        stuff[i].rate = stuff[i].value * 1.0/stuff[i].weight;
    }
    sort(stuff,stuff+n);
    int sum = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        if((stuff[i].weight + sum) <= m) {
            sum += stuff[i].weight;
            cout << stuff[i].weight << "  " << stuff[i].value << "  " << sum << endl;
        } else {
            float num =  (m - sum) * 1.0 /stuff[i].weight * 1.0;
            cout << num << "  " <

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原文地址：https://blog.csdn.net/qq_41940001/article/details/126649396