数字逻辑设计（2）

数字逻辑设计（2）

1. 多变量卡诺图

1.1 多变量卡诺图的概念

1. 两变量卡诺图

利用格雷码，使用坐标的读取方式，将格雷码组成后以二进制转为十进制读取

2. 三变量卡诺图

3. 四变量卡诺图

4. 五变量卡诺图

1.2 如何填写多变量卡诺图

1.2.1 真值表 -》卡诺图

根据真值表中的结果，对应到卡诺图表格中填写对应的0，1值

1.2.2 标准与或式 -》卡诺图

标准与或式
$F=\sum m(3,5,6,7)$
即编号3，5，6，7对应的真值为1，填写真值表中，再对应填写到卡诺图中

标准或与式
$F=\prod m(0,1,2,4)$
即编号0，1，2，4对应的真值为0，填写在真值表中，再对应到卡诺图中

将与或式逻辑表达式展开成完整形式，将对应的编号在卡诺图中填写为1

1.2.3 例题

$F=\overline{(A⨁B)(C+D)}$
$F=\overline{\overline{(\overline{AB}+AB)}(C+D)}$
$F=\overline{A}$ $\overline{B}+AB+\overline{C}$ $\overline{D}$

补出最小项
$\overline{A}$ $\overline{B}$ = 0000 + 0001 + 0010 + 0011
        0      1      2     3
$A$ $B$ = 1100 + 1101 + 1110 + 1111
        12    13     14    15
$\overline{C}$ $\overline{D}$ = 0000 + 0100 + 1000 + 1100
        0      4      8     12

填写卡诺图得


首先求出逻辑表达式

再补全最小项

最后根据编码号补全卡诺图

1.2.4 基于卡诺图得逻辑运算

卡诺图之间的逻辑运算是对应小方格之间进行逻辑运算：
或、与、异或、同或等

2. 卡诺图化简法

$BC$全为1，在卡诺图中表现为$BC$ 即11纵行全是1

2.1 从卡诺图中读取最简与或式（AND-OR）

step1 画圈

1. 紧挨着的
2. 行列首尾相接的
3. 对称的

满足格雷码的特点，相邻两项只有一位不同
三个圈
011 & 111
101 & 111
110 & 111

一个圈
0000 & 0010 & 1010 & 1000

一个圈
0001 & 0011 & 1011 & 1001

step2. 求出每个圈代表的项（每个圈代表一个与项）

观察每个圈左边和上边（类似于坐标读取方法）,0和1同时出现的项和为1，在项的表达式中消除，只出现0或1的项取原变量或者反变量在项中保留

蓝色的圈
左边有
$A$:0，1 同时出现消去$A$
上边有
$BC$：11 没有在逻辑上消去，得到$BC$
综上，得到了项表达式$BC$

红色的圈
左边有
$A$: 1 得到项中的一部分，即$A$
上边有
$BC$: 01和11将B消去，的到项的另一部分，即$C$
综上，得到了表达式$AC$

紫色的圈
同上，消去$C$, 得到项$AB$

从圈的位置
读取左侧值
00 & 10 消去B
读取上侧值
00 & 10 消去C
综上，得到表达式$\overline{B}$ $\overline{D}$

step3. 将所有的与项相加

得到最简逻辑表达式

1. 画圈
相邻对称2个圈
行列首尾1个圈

2. 求出每个圈代表的项
红色： $\overline{A}$ $\overline{C}$
紫色： $A$ $C$
蓝色： $\overline{B}$ $\overline{D}$

3. 将所有与项相加

$F=$ $\overline{A}$ $\overline{C}$ + $A$ $C$ + $\overline{B}$ $\overline{D}$

由上图画圈的方式不同可知最简表达式不一定唯一，但是同一个逻辑表达式的最简表达式的实现代价式相同的

2.2 读取最简或与式(OR-AND)

step1. 画圈

与与或式类似，区别是画圈的目标是0

step2. 每个圈代表一个和项

注意：在和项中0代表原变量

step3. 将所有和项相乘

得到最简或与式

2.3 读取最简与或非式(AND-OR-NOT)

方法一

step1. 读$\overline{F}$的与或式

在F的卡诺图中圈0

step2. 对$\overline{F}$求反

方法二

在$\overline{F}$的卡诺图中圈1

俺觉得方法二简单些

2.4 带有无关项的卡诺图化简

2.4.1 求解方法

在此图中，两种画圈方法：
方法一：求与或式
卡诺图中只有一个1，观察知将无关项视为1时更好画圈，得到一个圈，最终化简结果为
$F=C$

方法二：求或与式
卡诺图中此时圈0，得到一个圈，中间的无关项利用不上， 那就不利用了，即视为1即可，否则强行利用反而麻烦。
得到一个圈，最终化简结果为
$F=C$

2.4.2 例题

例1

对于8421BCD码，有效范围是0~9，超出这个范围的是无关项
求其与或式时，先对1画圈，包含相邻1的同时，利用更多的无关项，得到三个圈
最终逻辑表达式为
$F=A+BD+BC$

例2

二进制码+3为余三码

2.5 更多变量的卡诺图化简

左边为$x1=0$时，编号从0~15
右边为$x1=1$时，编号从16~31