8.【史上最全内部排序算法】（直接插入、折半插入、希尔） +（冒泡、快速）+（简单选择、堆{含元素的增删}）+（归并）+ （基数）排序 + 对比总结

排序

排序：重新排列表中的元素，使表中元素满足按关键字有序的过程。

排序算法的评价指标：时间复杂度、空间复杂度、稳定性。

算法的稳定性：关键字相同的元素在使用某一排序算法之后相对位置不变，则称这个排序算法是稳定的，否则称其为不稳定的。
稳定的排序算法不一定比不稳定的排序算法要好。

排序算法的分类：
内部排序 ： 排序期间元素都在内存中——关注如何使时间、空间复杂度更低。
外部排序 ：排序期间元素无法全部同时存在内存中，必须在排序的过程中根据要求，不断地在内、外存之间移动——关注如何使时间、空间复杂度更低，如何使读/写磁盘次数更少。

各自排序算法演示过程参考：https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/Algorithms.html

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1. 插⼊排序

（稳定）1.1 直接插入排序【适用于顺序存储和链式存储的线性表】

基本操作就是：将有序数据后的第一个元素 插入到 已经排好序的有序数据中 从而得到一个新的、个数加一的有序数据

算法解释：（从小到大）

算法三个步骤：

先保留要插入的数字
往后移
插入元素

// 对A[]数组中共n个元素进行插入排序
void InsertSort(int A[],int n){
    int i,j,temp;
    for(i=1; i<n; i++)
    {
    	//如果是A[i-1] <= A[i]，直接就是有序了，就不用下面的步骤【也是算法稳定的原因】
        if(A[i]<A[i-1])
        {    	
            temp=A[i];  //保留要插入的数字
            
            for(j=i-1; j>=0 && A[j]>temp; --j)
                A[j+1]=A[j];    //所有大于temp的元素都向后挪
                
            A[j+1]=temp;//插入元素
        }
    }
}
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用算法再带入这个例子，进行加深理解

带哨兵：

补充：对链表L进行插入排序

void InsertSort(LinkList &L){
    LNode *p=L->next, *pre;
    LNode *r=p->next;
    p->next=NULL;
    p=r;
    while(p!=NULL){
        r=p->next;
        pre=L;
        while(pre->next!=NULL && pre->next->data<p->data)
            pre=pre->next;
        p->next=pre->next;
        pre->next=p;
        p=r;
    }
}
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时间、空间复杂度

最好情况： 共n-1趟处理，每⼀趟只需要对⽐关键字1次，不⽤移动元素
最好时间复杂度—— O(n)

最坏情况： 【感觉第1趟：对⽐关键字2次，移动元素1次？ 】
第1趟：对⽐关键字2次，移动元素3次
第2趟：对⽐关键字3次，移动元素4次
…
第 i 趟：对⽐关键字 i+1次，移动元素 i+2 次
最坏时间复杂度——O(n²)

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（稳定）1.2 折半插入排序【先⽤折半查找找到应该插⼊的位置，再移动元素】

过程：

//对A[]数组中共n个元素进行折半插入排序
void InsertSort(int A[], int n)
{ 
    int i,j,low,high,mid;
    for(i=2; i<=n; i++)
    {
        A[0]=A[i]; //存到A[0]
        //-----------------折半查找【代码一样】---------------------------
        low=1; high=i-1;
        while(low<=high){            
            mid=(low+high)/2;
            if(A[mid]>A[0])
                high=mid-1;
            else
                low=mid+1;
        }
         //--------------------------------------------
        for(j=i-1; j>high+1; --j)//右移
            A[j+1]=A[j];
            
        A[high+1]=A[0];//插入
    }
}
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时间、空间复杂度

空间复杂度：O(1)

【查找】的次数变少了，但是右移次数依然是O(n²) 数量级，整体来看时间复杂度依然是O(n²)

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即查找次数减少，右移次数不变

（不稳定）1.3 希尔排序【多次直接插入排序】

是希尔（Donald Shell）于1959年提出的一种排序算法。希尔排序也是一种插入排序，它是简单插入排序经过改进之后的一个更高效的版本，也称为缩小增量排序，同时该算法是冲破O(n2）的第一批算法之一。

算法思想

• 希尔排序是把记录按下标的一定增量分组，对每组使用直接插入排序算法排序；
• 随着增量逐渐减少，每组包含的关键词越来越多，当增量减至1时，整个文件恰被分成一组，算法便终止。

图解：

代码实现：

//从小到大
void shellSort(int* arr, int n)
{
        int gap, i, j, temp;
        //小组的个数，小组的个数从n/2个，变成n/4，再变变变，越来越少，直到变成一个
        for (gap = n / 2; gap >= 1; gap = gap / 2) 
        {
            //**********************************直接插入排序（只是步长改变）**************************************************
            for (i = gap; i < n; i++)  //因为这个小组的元素使隔了gap个，所以排的时候也要隔gap个
            {
                if (arr[i] < arr[i - gap])
                {
                    temp = arr[i];
                    
                    //后移
                    for (j = i - gap; j >= 0 && temp < arr[j]; j -= gap) 
                        arr[j + gap] = arr[j];
                    
                    arr[j + gap] = temp;//插入进去
                }
            }
            //************************************************************************************
        }
}
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时间、空间复杂度

空间复杂度：O(1)

时间复杂度：和步长的大小有关，⽬前⽆法⽤数学⼿段证明确切的时间复杂度 ，最坏时间复杂度为 O(n²)，当n在某个范围内时，可达O(n^1.3)

稳定性：不稳定！

适⽤性：仅适⽤于顺序表，不适⽤于链表

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2. 交换排序

2.1 (稳定）冒泡排序

英文:bubble sort     (bubble 动和名词 起泡，冒泡)
从头到尾相邻的两个元素进行比较 大小顺序不满足就交换两个元素位置

每一轮比较会让一个最大数字沉底或者一个最小数字上浮

这个算法的名字由来是因为越大的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端（升序或降序排列），就如同碳酸饮料中二氧化碳的气泡最终会上浮到顶端一样，故名“冒泡排序”。

实现代码：

//从小到大：
void bubble_sort(int arr[], int len)//冒泡排序int*arr
{
	int temp;
	for (int i = 0; i < len - 1; ++i)//循环比较次数
	{
		//for (int j = 0; j < len - 1; ++j)//从头到尾比较一轮
		for (int j = 0; j < len - 1 - i; ++j)//相对于上面的一个优化 
		{
			if (arr[j] > arr[j + 1])//发现两个位置不对的元素//j+1
			{
				//交换两个元素位置
				temp = arr[j];
				arr[j] = arr[j + 1];
				arr[j + 1] = temp;
			}
		}
	}
}
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优化代码【当初始序列有序时，外层for会执行“【1】”，从而外层for只执行了一次】：

//从小到大：
void bubble_sort(int arr[], int len)
{
	int temp;
	bool flag;
	for (int i = 0; i < len - 1; ++i)
	{
	    //表示本趟冒泡是否发生交换的标志
		flag=false;
		
		for (int j = 0; j < len - 1 - i; ++j)
		{
			if (arr[j] > arr[j + 1])//稳定的原因
			{
				temp = arr[j];
				arr[j] = arr[j + 1];
				arr[j + 1] = temp;
				//有发生交换
				flag=true;
			}
		}//for
		
		//本趟遍历后没有发生交换，说明表已经有序
		if(flag==false)return;【1】
	}//for
}
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时间、空间复杂度

适用性：冒泡排序可以用于顺序表、链表

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2.2 (不稳定)快速排序【所有内部排序算法中，平均性能最优的排序算法】

算法思想：
在待排序表L[1…n]中任取⼀个元素pivot作为枢轴（或基准，通常取⾸元素），
通过⼀趟排序将待排序表划分为独⽴的两部分L[1…k-1] 和 L[k+1…n]，
使得L[1…k-1]中的所有元素⼩于pivot，L[k+1…n]中的所有元素⼤于等于pivot，
再令pivot放在位置L(k)上，这个过程称为⼀次“划分”。

然后分别递归地对两个⼦表重复上述过程，直⾄每部分内只有⼀个元素或空为⽌，即所有元素放在了其最终位置上。

划分的过程：

初始状态：取首元素为pivot，定义low，high指针

首元素为49
high指针指向的数据小于49，就放在low指向的位置
low指针指向的数据大于49，就放在high指向的位置

// 用第一个元素将数组A[]划分为两个部分
int Partition(int A[], int low, int high){
	//取首元素为pivot
    int pivot = A[low];
    
    while(low<high)
    {
    	//先是high开始向左移动
        while(low<high && A[high]>=pivot)
            --high;
        A[low] = A[high];
        
        //随后low向右移动
        while(low<high && A[low]<=pivot) 
            ++low;
        A[high] = A[low];
    }
    
    //low=high的位置，即pivot放在的位置
    A[low] = pivot;
    
    return low;
} 

// 对A[]数组的low到high进行快速排序
void QuickSort(int A[], int low, int high){
    if(low<high){
        int pivotpos = Partition(A, low, high);  //划分
        QuickSort(A, low, pivotpos - 1);
        QuickSort(A, pivotpos + 1, high);
    }
}
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时间、空间复杂度

把n个元素组织成⼆叉树，⼆叉树的层数就是递归调⽤的层数

n个结点的⼆叉树： 最⼩⾼度 = ⌊log₂n⌋ + 1，最⼤⾼度 = n

时间复杂度=O(n*递归层数)
最好时间复杂度=O(n * log₂n)
最坏时间复杂度=O(n²)
平均时间复杂度=O(n * log₂n)，是所有内部排序算法中平均性能最优的排序算法

空间复杂度=O(递归层数)
最好空间复杂度=O(log₂n)
最坏空间复杂度=O(n)

最坏的情况

⽐较好的情况

不稳定的原因：

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3.选择排序

选择排序：每⼀趟在待排序元素中，选取关键字最⼩（或最⼤）的元素加⼊有序⼦序列

3.1 （不稳定）简单选择排序

算法思路：每一趟在待排序元素中，选取关键字最小的元素与待排序元素中的第一个元素交换位置

// 交换a和b的值
void swap(int &a, int &b){
    int temp = a;
    a = b;
    b = temp;
}

// 对A[]数组共n个元素进行选择排序
void SelectSort(int A[], int n)
{
	//一共进行n-1趟，i指向待排序序列中第一个元素
    for(int i=0; i<n-1; i++)
    {          	
        int min = i;
        for(int j=i+1; j<n; j++){		//在A[i...n-1]中选择最小的元素
            if(A[j]<A[min])
                min = j;
        }
        if(min!=i)                     
            swap(A[i], A[min]);
    }
}
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补充：对链表进行简单选择排序

void selectSort(LinkList &L){
    LNode *h=L,*p,*q,*r,*s;
    L=NULL;
    while(h!=NULL){
        p=s=h; q=r=NULL;
        while(p!=NULL){
            if(p->data>s->data){
                s=p; r=q;
            }
            q=p; p=p->next;
        }
        if(s==h)
            h=h->next;
        else
            r->next=s->next;
        s->next=L; L=s;
    }
}
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时间、空间复杂度

适用性：适用于顺序存储和链式存储的线性表。

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3.2 （不稳定）堆排序

① 什么是堆、⼤根堆（⼤顶堆）、⼩根堆（⼩顶堆）？

堆是具有以下性质的完全二叉树：
每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆；
或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。

即：
若满⾜：L(i) ≥ L(2i) 且 L(i) ≥ L(2i+1) （1 ≤ i ≤n/2）—— ⼤根堆（⼤顶堆）
若满⾜：L(i) ≤ L(2i) 且 L(i) ≤ L(2i+1) （1 ≤ i ≤n/2）—— ⼩根堆（⼩顶堆）

② 建⽴⼤根堆：BuildMaxHeap(int A[], int len)、HeadAdjust(int A[], int k, int len)

思路：
把所有⾮终端结点都检查⼀遍，看是否满⾜⼤根堆的要求，如果不满⾜，则进⾏调整

在顺序存储的完全⼆叉树中，⾮终端结点编号 i≤⌊n/2⌋，也就是检查 i=1 到 i=⌊n/2⌋ 之间的所有结点

检查内容：是否满⾜ 根 ≥ 左、右，若不满⾜，将当前结点与其更⼤的⼀个孩⼦互换

过程例子：

建⽴⼤根堆（代码）：

// 对初始序列建立大根堆
void BuildMaxHeap(int A[], int len){
    for(int i=len/2; i>0; i--) 		//从后往前调整所有非终端结点
        HeadAdjust(A, i, len);
}

// 将以k为根的子树调整为大根堆
void HeadAdjust(int A[], int k, int len){
    A[0] = A[k];
    for(int i=2*k; i<=len; i*=2){	//沿k较大的子结点向下调整
        if(i<len && A[i]<A[i+1])	
            i++;
        if(A[0] >= A[i])
            break;
        else{
            A[k] = A[i];			//将A[i]调整至双亲结点上
            k=i;					//修改k值，以便继续向下筛选
        }
    }
    A[k] = A[0]
}
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③基于⼤根堆进⾏排序：HeapSort(int A[], int len)

选择排序：每⼀趟在待排序元素中，选取关键字最⼩（或最⼤）的元素加⼊有序⼦序列

堆排序：每⼀趟将堆顶元素加⼊有序⼦序列（即与待排序序列中的最后⼀个元素交换）

过程：

// 交换a和b的值
void swap(int &a, int &b){
    int temp = a;
    a = b;
    b = temp;
}

// 对长为len的数组A[]进行堆排序
void HeapSort(int A[], int len){
	//初始建立大根堆
    BuildMaxHeap(A, len);         	
   
    //n-1趟的交换和建堆过程
    for(int i=len; i>1; i--)
    {      	
        swap(A[i], A[1]);
        HeadAdjust(A,1,i-1);
    }
}
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时间、空间复杂度

建堆时间 O(n)，之后进行 n-1 次向下调整操作，每次调整时间复杂度为 O(log₂n)；
故时间复杂度 = O(n) + O(n * log₂n) = O(n* log₂n)

空间复杂度 = O(1)

结论：堆排序是不稳定的

---

④ 补充：在堆中插⼊新元素

对于⼩根堆，新元素放到表尾，并与⽗节点对⽐，若新元素⽐⽗节点更⼩，则将⼆者互换。
新元素就这样⼀路“上升”，直到⽆法继续上升为⽌

⑤ 补充：在堆中删除元素

被删除的元素⽤堆底元素替代，然后让该元素不断“下坠”，直到⽆法下坠为⽌

---

4. （稳定）归并排序

归并：把两个或多个已经有序的序列合并成⼀个

① 明白什么是“2路”归并？——就是“⼆合⼀”

多路归并：

② 一次“2路”归并的代码【Merge(int A[], int low, int mid, int high)】

B[ i ] = B[ j ]时，优先用B[ i ]，故算法稳定

③递归进行分治思想【MergeSort(int A[], int low, int high)】

④ 总实现代码

// 辅助数组B
int *B=(int *)malloc(n*sizeof(int));

// A[low,...,mid]，A[mid+1,...,high]各自有序，将这两个部分归并
void Merge(int A[], int low, int mid, int high){
    int i,j,k;
    for(k=low; k<=high; k++)
        B[k]=A[k];
    for(i=low, j=mid+1, k=i; i<=mid && j<= high; k++){
        if(B[i]<=B[j])
            A[k]=B[i++];
        else
            A[k]=B[j++];
    }
    while(i<=mid)
        A[k++]=B[i++];
    while(j<=high) 
        A[k++]=B[j++];
}


// 递归操作（使用了分治法思想）
void MergeSort(int A[], int low, int high){
    if(low<high){
        int mid = (low+high)/2;
        MergeSort(A, low, mid);
        MergeSort(A, mid+1, high);
        Merge(A,low,mid,high);     //归并
    }
}
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时间、空间复杂度

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5. 基数排序

直接看课本的过程图来理解P352

再看这个例子：

1. 算法思想：把整个关键字拆分为d位，按照各个关键字位递增的次序（比如：个、十、百），做d趟“分配”和“收集”，若当前处理关键字位可能取得r个值，则需要建立r个队列。
2. 分配：顺序扫描各个元素，根据当前处理的关键字位，将元素插入相应的队列。一趟分配耗时 O(n) 。
3. 收集：把各个队列中的结点依次出队并链接。一趟收集耗时 O( r ) 。
4. 基数排序擅长处理的问题：
   ①数据元素的关键字可以方便地拆分为d组，且d较小。
   ②每组关键字的取值范围不大，即r较小。
   ③ 数据元素个数n较大。
5. 算法效率分析：
   • 时间复杂度：一共进行d趟分配收集，一趟分配需要 O(n) ，一趟收集需要O( r ) ，时间复杂度O[d(n+r)] ，且与序列的初始状态无关.
   • 空间复杂度： O( r ) ，其中r为辅助队列数量。
   • 稳定性：稳定。

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内部排序算法总结