开关电源设计中 AP值的推导过程

开关电源设计之：AP法的公式推导

1 前提条件

由变压器基本公式可得下列表

2 基本磁心公式

根据法拉第电磁感应定律，绕组中感生的磁动势为
$$e=N\frac{d\Phi }{dt}=\frac{LdI}{dt}\text{\hspace{1em}(1.1)}$$
而
$$\begin{gathered} \Phi =A_{g}B \\ \Phi :总磁通 \end{gathered}$$
可得
$$e=N{A}_g\frac{dB}{dt}$$
设$A_g=A_p$，其中$A_p$为磁心柱面积（忽略边缘效应）

根据安培定律有
$$mmf=\int Hd{l}_g=H_{lg}=NI\text{\hspace{1em}(1.2)}$$
磁场的关系式为：
$$B=u_r{u}_{0}H$$
而空气的磁导率$u_r=1$,因此有
$$H=\frac{B}{u_0}\text{\hspace{1em}(1.3)}$$
联立式$1.1$，得
$$\begin{gathered} e=L\frac{di}{dt} \\ edt=Ldi \end{gathered}$$
公式两边同时乘以$I$并积分有
$$J=\int eIdt=\int LIdi=\frac{1}{2}L{I}^2\text{\hspace{1em}(1.4)}$$
由式1.2可得
$$I=\frac{H{l}_g}{N}\text{\hspace{1em}(1.5)}$$
式1.5与1.1相乘可得
$$EI=N{A}_g\frac{dB}{dt}H\frac{l_g}{N}⟶EIdt=A_g{L}_{g}HdB$$
两边积分可得
$$\int EIdt=J=A_g{L}_g\int HdB\text{\hspace{1em}(1.6)}$$
又因为$H=\frac{B}{u_0}$，即磁通等于场强乘磁阻有：
$$J=A_g{L}_g\int \frac{B}{u_0}dB=\frac{A_g{L}_g}{u_0}\int BdB=\frac{1}{2}\frac{A_g{L}_g}{u_0}{B}^2$$
再次因为$H=\frac{B}{u_0}$，可得
$$J=\frac{1}{2}{A}_g{L}_{g}BH\text{\hspace{1em}(1.7)}$$
联立式子1.4与式1.7可得
$$\frac{1}{2}L{I}^2=\frac{1}{2}{A}_g{L}_{g}BH\text{\hspace{1em}(1.8)}$$
又因为式1.2有$NI=H{I}_g$带入式1.8中可得：
$$\frac{1}{2}L{I}^2=\frac{1}{2}B{A}_{g}NI⟶LI=B{A}_{g}N⟶N=\frac{LI}{B{A}_g}\text{\hspace{1em}(1.9)}$$
其中$I$是峰值电流

现在考虑到绕组：安匝数等于导线中的电流密度$I_a$乘以填充系数$K_u$修改的有效窗口面积$A_w$
$$N{I}_{rms}=I_a{A}_w{K}_u⟶N=\frac{I_a{A}_w{K}_u}{I_{rms}}\text{\hspace{1em}(1.10)}$$

3 结论推导(公式部分)

联立式1.9和1.10得：
$$\frac{LI}{B{A}_g}=\frac{I_a{A}_w{K}_u}{I_{rms}}$$
AP法中$AP=A_w{A}_g$为：
$$AP=A_w{A}_g=\frac{LI{I}_{rms}10^4}{I_{a}KuB}\text{\hspace{1em}(1.11)}$$

4 结论推导（文字部分）

在连续电流的变压器中，峰值电流幅值$I$非常接近于有效电流值$I_{rms}$，因此有$I\times I_{rms}\approx I^2$.此外，在大多数应用中，电流密度$I_a$、填充系数$K_u$和峰值磁通密度$B$被当做常数处理，因此式子$(1.11)$可以将AP值与储存的能量联系起来（功率处理能力）。从而将AP值应用到磁芯的选择中。

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