【二叉树】

【二叉树】
佬们，今天向大家分享的是二叉树的一些知识点以及相关的简单习题，如果哪儿有什么不对的地方欢迎指出哦。

目录

1 树的概念及结构

1.1 树的概念（了解）

1.2 树的表示

1.3树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

2 二叉树概念及结构

2.1 二叉树的概念

2.2 现实中的二叉树

2.3数据结构中的二叉树

2.4特殊的二叉树

2.5 二叉树的存储结构

2.6 二叉树的链式结构

2.61 二叉树的前中后序遍历

2.62 二叉树的层序遍历

3 二叉树相关题练习

1 树的概念及结构

1.1 树的概念（了解）
1. 树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它 叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
2. 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。
3. 每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。因此，树是递归定义的
接下来我们看一个图：

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图： A 的为 6 。

叶节点或终端节点：度为 0 的节点称为叶节点；如上图： B 、 C 、 H 、 I... 等节点为叶节点。

非终端节点或分支节点：度不为 0 的节点；如上图： D 、 E 、 F 、 G... 等节点为分支节点。

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图： A 是 B的父节点。

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图： B 是 A 的孩子节点。

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图： B 、 C 是兄弟节点。

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为 6 。

节点的层次：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子节点为第 2 层，以此类推。

树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为 4 。

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图： A 是所有节点的祖先。

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是 A 的子孙。

森林：由 m （ m>0 ）棵互不相交的多颗树的集合称为森林。

1.2 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子 兄弟表示法 。
```
typedef int DataType;
struct Node
{
    struct Node* _firstChild1;    // 第一个孩子结点
    struct Node* _pNextBrother;   // 指向其下一个兄弟结点
    DataType _data;               // 结点中的数据域
};
```
图形展示：

1.3树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

2 二叉树概念及结构

2.1 二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

特点：

1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。

2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

2.2 现实中的二叉树

2.3数据结构中的二叉树

2.4特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉

树。也就是说，如果一个二叉树的层数为 K ，且结点总数是 (2^k) -1 ，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K 的，有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 至 n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.5 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

顺序结构是用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。（这篇博客重点讲解二叉树的链式结构，堆会在后面单独出一篇博客讲解）

2.6 二叉树的链式结构

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。
```
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinTreeNode* pLeft;   // 指向当前节点左孩子
    struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子
    BTDataType _data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinTreeNode* pParent; // 指向当前节点的双亲
    struct BinTreeNode* pLeft;   // 指向当前节点左孩子
    struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子
    BTDataType _data; // 当前节点值域
}
```
2.61 二叉树的前中后序遍历

二叉树一般不进行增删查改操作，（堆的话可以，这里就不多说了）一般就进行前中后序，以及求树的高度等。

1. NLR ：前序遍历 (Preorder Traversal 亦称先序遍历 )—— 访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。

在进行前序遍历之前我们的自己构建一个二叉树：
```
	BTNode* A = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (A)
	{
		A->left = NULL;
		A->right = NULL;
		A->val = 'A';
	}
 
	BTNode* B = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (B)
	{
		B->left = NULL;
		B->right = NULL;
		B->val = 'B';
	}
 
	BTNode* C = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (C)
	{
		C->left = NULL;
		C->right = NULL;
		C->val = 'C';
	}
 
	BTNode* D = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (D)
	{
		D->left = NULL;
		D->right = NULL;
		D->val = 'D';
	}
 
	BTNode* E = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (E)
	{
		E->left = NULL;
		E->right = NULL;
		E->val = 'E';
	}
 
	BTNode* F = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (F)
	{
		F->left = NULL;
		F->right = NULL;
		F->val = 'F';
	}
 
	BTNode* G = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (G)
	{
		G->left = NULL;
		G->right = NULL;
		G->val = 'G';
	}
 
	BTNode* H = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (H)
	{
		H->left = NULL;
		H->right = NULL;
		H->val = 'H';
	}
 
	A->left = B;
	A->right = C;
	B->left = D;
	B->right = E;
	E->right = H;
	C->left = F;
	C->right = G;
```
前序遍历的代码：
```
void PrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL "); 
		return;
	}
	printf("%c ", root->val);
	PrevOrder(root->left);
	PrevOrder(root->right);
}
```
这里我们用了分治的思想来处理问题，先访问根（打印结点上的数据），然后访问左子树，访问右子树，不断递归下去，直到访问到NULL。

来看看结果：

同理，中序遍历和后序遍历也是一样的方法：

2. LNR ：中序遍历 (Inorder Traversal)—— 访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。

具体代码：
```
void InOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	InOrder(root->left);
	printf("%c ", root->val);
	InOrder(root->right);
}
```
结果展示：

3. LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

具体代码：
```
void InOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	InOrder(root->left);
	printf("%c ", root->val);
	InOrder(root->right);
}
```
结果展示：

求结点的个数：

具体代码：
```
int NodeSize(BTNode* root)
{
	return root == NULL ? 0 : NodeSize(root->left) + NodeSize(root->right) + 1;
}
```
这种方法求解节点的个数是比较简洁的，你也可以用count计数，但是要传入地址，还有尽量不要用全局变量，这样做可能会有隐患。如果不太理解上面递归是怎样实现的，最好画递归图来帮助理解。

求叶子结点的个数：

具体代码：
```
int TreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	if (root->left == NULL && root->right == NULL)
	{
		return 1;
	}
	return TreeLeafSize(root->left) + TreeLeafSize(root->right);
}
```
大体思路与求结点总数类似，都是采用了分治的思想。

求二叉树的最大深度：

具体代码：
```
int maxDepth(struct TreeNode* root){
if(root==NULL)
{
    return 0;
}
int maxLeft=maxDepth(root->left);
int maxRight=maxDepth(root->right);
return maxLeft>maxRight?maxLeft+1:maxRight+1;
}
```
注意这里求的是最大深度，不是结点个数，只需要统计出最大值就好了。

2.62 二叉树的层序遍历

层序遍历 ：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为 1 ，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第 2 层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

二叉树的层序遍历这里我们用队列来实现：

具体思路：

先让根入队列，然后再让根出队列，当左子树不为NULL时让左子树入队列，当右子树不为NULL时让右子树入队列，然后不断迭代下去，直至队列为空。记得出队列前要保存当前值来访问到该元素，pop到队列当中的值是地址，通过该地址来访问其中的val.

具体代码：
```
void LevelOrder(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	if (root)
	{
		QueuePush(&q, root);
	}
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		printf("%c ", front->val);
 
		if (front->left)
		{
			QueuePush(&q, front->left);
		}
		if (front->right)
		{
			QueuePush(&q, front->right);
		}
	}
	printf("\n");
	QueueDestroy(&q);
}
```
当然，自己要实现一个队列：具体实现方法可以参照上一篇博客：戳这里

结果展示：

3 二叉树相关题练习

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）

A 不存在这样的二叉树

B 200

C 198

D 199

解题思路：

这里我们引用二叉树的一些性质：

1. 若规定根节点的层数为 1 ，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 2^(i-1) 个结点。

2. 若规定根节点的层数为 1 ，则 深度为 h 的二叉树的最大结点数是 2^h- 1。

3. 对任何一棵二叉树 , 如果度为 0 其叶结点个数为 n0, 度为 2 的分支结点个数为 n2, 则有 n0＝n2＋1 。

4. 若规定根节点的层数为 1 ，具有 n 个结点的满二叉树的深度 ， h=LogN。

这里用第三个性质可以知道该题选B

2. 在具有 2 n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）

A n

B n + 1

C n - 1

D n / 2

解题思路：

这个题我们不妨假设叶子结点个数为x,则度为2的结点个数为x-1,由于题目给的是完全二叉树，所以度为1的结点个数只能为0或者1，则由已知条件可列：x+x-1+0（1）=x,由于n只能是整数，所以度为1的结点个数只能取1，故x=n,选A.

3.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为( )

A 11

B 10

C 8

D 12

解题思路：

我们不妨假设这棵树的高度为x,最后一层缺失的结点个数为y,则y的取值为[0,2^(h-1)-1],

由已知可列：2^h-1-y=531,结合y的取值我们可以代值进去，选项B符合题意。

4. 二叉树的前序遍历

解题思路：

为了空间的不浪费，我们首先求出该树的结点个数，通过该节点个数来malloc想要的空间大小，由于我们想要把数据存放到数组中，所以为了不重复malloc，我们分装了一个函数来帮助我们完成前序遍历。

具体代码：
```
int TreeSize(struct TreeNode* root) {
    return root==NULL?0:TreeSize(root->left)+TreeSize(root->right)+1;
}
PrevOrder(struct TreeNode* root,int*a,int*pc) {
    if(root==NULL)
    return ;
    a[*pc]=root->val;
    (*pc)++;
PrevOrder(root->left,a,pc) ;
PrevOrder(root->right,a,pc) ;
 
}
int* preorderTraversal(struct TreeNode* root, int* returnSize){
int sz=TreeSize(root);
int* a=(int*)malloc(sizeof(int)*sz);
int count=0;
PrevOrder(root,a,&count);
* returnSize=count;
return a;
}
```
中序与后续遍历也是一样的分析方法，只是遍历的顺序不一样。

5. 平衡二叉树

解题思路：

平衡二叉树就是一个二叉树每个节点 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1 ，我们可以求出左子树的最大高度以及右子树的最大高度来比较，然后不断递归下去，直至满足平衡二叉树的条件。

具体代码：
```
int maxDepth(struct TreeNode* root){
if(root==NULL)
{
    return 0;
}
int maxLeft=maxDepth(root->left);
int maxRight=maxDepth(root->right);
return maxLeft>maxRight?maxLeft+1:maxRight+1;
}
 
bool isBalanced(struct TreeNode* root){
if(root==NULL)
{
    return true;
}
int leftDepth=maxDepth(root->left);
int rightDepth=maxDepth(root->right);
 
return abs(leftDepth-rightDepth)<2 && isBalanced(root->left) && isBalanced(root->right);
}
```
好了，今天的分享就到这里了，希望大佬们多多支持下，如果哪里有什么不对的地方欢迎佬们评论区中指出哦。
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原文地址：https://blog.csdn.net/m0_68872612/article/details/126574415

佬们，今天向大家分享的是二叉树的一些知识点以及相关的简单习题，如果哪儿有什么不对的地方欢迎指出哦。

1 树的概念及结构

1.1 树的概念（了解）

1.2 树的表示

1.3树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

2 二叉树概念及结构

2.1 二叉树的概念

2.2 现实中的二叉树

2.3数据结构中的二叉树

2.4特殊的二叉树

2.5 二叉树的存储结构

2.6 二叉树的链式结构

2.61 二叉树的前中后序遍历

2.62 二叉树的层序遍历

3 二叉树相关题练习