算法-递增三元组

题目描述

给定三个整数数组

A = [ A 1 , A 2 , … A N ] , A=[A_1,A_2,…A_N], A=[A1​,A2​,…AN​],
B = [ B 1 , B 2 , … B N ] , B=[B_1,B_2,…B_N], B=[B1​,B2​,…BN​],
C = [ C 1 , C 2 , … C N ] , C=[C_1,C_2,…C_N], C=[C1​,C2​,…CN​],

请你统计有多少个三元组 ( i , j , k ) (i,j,k) (i,j,k) 满足：

1. 1 ≤ i , j , k ≤ N 1≤i,j,k≤N 1≤i,j,k≤N
2. A i < B j < C k Ai

输入格式

第一行包含一个整数 N N N。

第二行包含 N N N 个整数 A 1 , A 2 , … A N 。 A_1,A_2,…A_N。 A1​,A2​,…AN​。

第三行包含 N N N 个整数 B 1 , B 2 , … B N 。 B_1,B_2,…B_N。 B1​,B2​,…BN​。

第四行包含 N N N 个整数 C 1 , C 2 , … C N 。 C_1,C_2,…C_N。 C1​,C2​,…CN​。

输出格式

一个整数表示答案。

数据范围

1 ≤ N ≤ 105 , 1≤N≤105, 1≤N≤105,
0 ≤ A i , B i , C i ≤ 105 0≤Ai,Bi,Ci≤105 0≤Ai,Bi,Ci≤105

输入样例1：

3
1 1 1
2 2 2
3 3 3

输出样例1：

27

思路

我自己想的时候是枚举 a a a 组中的每一个元素，然后二分出 b b b 和 c c c 中的边界点，然后相乘。但是自己想错了， 因为 b b b 和 c c c 有关系，所以不能直接相乘。

那么其实可以枚举 b b b 中的每一个点，再根据 b i b_i bi​ 找到 a , c a,c a,c 中小于 b i bi bi 的数 和 大于 b i bi bi 的数 ，因为如此分， a a a 和 c c c 就是独立存在，可以用乘法原理

如果暴力解决，那么必然是需要 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)的复杂度枚举三个点再判断其大小，必定超时

所以可以想办法优化，可以看出我们找小于和大于 b i b_i bi​ 的数时，可以

• 排序 + 二分找到边界点
• 前缀和求小于 b i b_i bi​ 的个数和 大于 b i b_i bi​ 的个数
• 双指针

排序 + 二分

对三个数组排序，枚举 b b b 的每一个点，然后二分出 a a a 中小于 b i b_i bi​ 的第一个数和 b b b 中大于 b i b_i bi​ 的第一个数，算出个数相乘即可

时间复杂度

O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)

C++ 代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
typedef long long LL;
 
const int N = 100010;
int q[3][N];
int n;
 
int lowbound(int i,int x) {
    int l = 0, r = n - 1;
    while(l < r) {
        int mid = l + r + 1>> 1;
        if(q[i][mid] < x) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    
    if(q[i][l] >= x) l = -1;
 
    return l;
}
 
int upbound(int i,int x) {
    int l = 0, r = n - 1;
    while(l < r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if(q[i][mid] > x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    
    if(q[i][r] <= x) r = n;
    
    return r;
}
 
int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 0;i < 3;i ++) {
        for(int j = 0;j < n;j ++) scanf("%d",&q[i][j]);
        sort(q[i],q[i] + n);
    }
    
    
    LL res = 0;
    for(int i = 0;i < n;i ++) {
        int x = q[1][i];
        int l1 = lowbound(0,x);
        int l2 = upbound(2,x);
        res += (LL)(l1 + 1) * (n - l2);
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

---

前缀和

时间复杂度

O ( N ) O(N) O(N)

C++ 代码

#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
 
typedef long long LL;
 
const int N = 100010;
int a[N], b[N], c[N];
int as[N];  // as[i]表示小于b[i]的数的个数
int cs[N];  // cs[i]表示大于b[i]的数的个数
int cnt[N], s[N];
int n;
 
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    
    for(int i = 0;i < n;i ++) scanf("%d",&a[i]), a[i] ++;
    for(int i = 0;i < n;i ++) scanf("%d",&b[i]), b[i] ++;
    for(int i = 0;i < n;i ++) scanf("%d",&c[i]), c[i] ++;
    
    for(int i = 0;i < n;i ++) cnt[a[i]] ++;
    for(int i = 1;i < N;i ++) s[i] = s[i - 1] + cnt[i];
    
    // 求as
    for(int i = 0;i < n;i ++) as[i] = s[b[i] - 1];
    
    memset(cnt, 0, sizeof cnt);
    memset(s, 0, sizeof s);
    // 求cs
    for(int i = 0;i < n;i ++) cnt[c[i]] ++;
    for(int i = 1;i < N;i ++) s[i] = s[i - 1] + cnt[i];
    for(int i = 0;i < n;i ++) cs[i] = s[N - 1] - s[b[i]];
    
    LL res = 0;
    for(int i = 0;i < n;i ++) res += (LL) as[i] * cs[i];
    
    cout << res << endl;
    return 0;
}