【793. 阶乘函数后 K 个零】

来源：力扣（LeetCode）

描述：

f(x) 是 x! 末尾是 0 的数量。回想一下 x! = 1 * 2 * 3 * ... * x，且 0! = 1 。

• 例如， f(3) = 0 ，因为 3! = 6 的末尾没有 0 ；而 f(11) = 2 ，因为 11!= 39916800 末端有 2 个 0 。

给定 k，找出返回能满足 f(x) = k 的非负整数 x 的数量。

示例 1：

输入：k = 0
输出：5
解释：0!, 1!, 2!, 3!, 和 4! 均符合 k = 0 的条件。
1
2
3

示例 2：

输入：k = 5
输出：0
解释：没有匹配到这样的 x!，符合 k = 5 的条件。
1
2
3

示例 3:

输入: k = 3
输出: 5
1
2

提示:

• 0 <= k <= 10⁹

方法：二分查找

思路与算法

首先我们令 zeta(x) 为 x! 末尾零的个数。根据 「172. 阶乘后的零」 的题解，有

记 n_x 表示 x! 末尾零的个数 不小于 x 的最小数，那么题目等价于求解 n_k+1 - n_k。

由于 zeta(x) 为 单调不减函数，因此 n_k+1 和 n_k 可以通过「二分查找」来求解。

又因为

得

zeta(5x) ≥ x

所以当二分求解 n_k 时，我们可以将二分的初始右边界 r 设置为 5x。

代码：

class Solution {
public:
    int zeta(long x) {
        int res = 0;
        while (x) {
            res += x / 5;
            x /= 5;
        }
        return res;
    }

    long long help(int k) {
        long long r = 5LL * k;
        long long l = 0;
        while (l <= r) {
            long long mid = (l + r) / 2;
            if (zeta(mid) < k) {
                l = mid + 1;
            } else {
                r = mid - 1;
            }
        }
        return r + 1;
    }

    int preimageSizeFZF(int k) {
        return help(k + 1) - help(k);
    }
};
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执行用时：0 ms, 在所有 C++ 提交中击败了100.00%的用户
内存消耗：5.8 MB, 在所有 C++ 提交中击败了72.15%的用户
复杂度分析
时间复杂度：O(log²k)，其中 k 为题目给定数字，二分查找 n_k+1 和 n_k 的时间复杂度为 O(logk)，其中每一步计算 zeta(x) 的时间复杂度为 O(logk)。
空间复杂度： O(1)， zeta(x) 仅为常量空间开销。
author：LeetCode-Solution