论文笔记: 度量学习之 DML

摘要: 分享对论文的理解. 原文见 Kilian Q. Weinberger, John Blitzer and Lawrence K. Saul, Distance Metric Learning for Large Margin Nearest Neighbor Classification, NIPS 2005.

1. 论文贡献

• 将度量学习与 kNN 结合, 充分利用了局部信息.
• 由于优化问题是凸函数, 能够迅速获得最优解.

2. 基本符号

3. 方案

度量的计算
$$\mathcal{D}({\overrightarrow{x}}_i,{\overrightarrow{x}}_j)=\Vert \mathbf{L}({\overrightarrow{x}}_i-{\overrightarrow{x}}_j){\Vert }_2^2\text{\hspace{1em}(1)}$$
解释:

• 先计算两个向量的差值.
• 利用 $\mathbf{L}$ 进行线性变换, 相当于对向量进行加权, 这点与 PCA 很像. 这里满足结合率, 即 $\mathbf{L}({\overrightarrow{x}}_i-{\overrightarrow{x}}_j)=\mathbf{L}{\overrightarrow{x}}_i-\mathbf{L}{\overrightarrow{x}}_j$.
• 计算变换后数据的二范数.

3.1 邻居的确定

根据欧氏距离. 与当前样本类别相同的最近 $k$ 个邻居. 这些邻居在学习过程中不改变.
问题:

• 数据需要归一化吗?
• 不改变邻居合理吗?

3.2 代价函数 (即优化目标)

$$\epsilon (\mathbf{L})=\sum _{ij}{\eta }_{ij}\Vert \mathbf{L}({\overrightarrow{x}}_i-{\overrightarrow{x}}_j){\Vert }^2+c\sum _{ijl}{\eta }_{ij}(1-y_{il}){\left[1+\Vert \mathbf{L}({\overrightarrow{x}}_i-{\overrightarrow{x}}_j){\Vert }^2-\Vert \mathbf{L}({\overrightarrow{x}}_i-{\overrightarrow{x}}_l){\Vert }^2\right]}_{+}\text{\hspace{1em}(2)}$$
这个就是核心了. 解释如下:

• 第一个累加, ${\eta }_{ij}$ 表示只关注同类别的目标邻居. 这一部分越小越好.
• 第一个累加是二重循环, 表示对所有的对象, 都关注其目标邻居进行一次计算.
• $c$ 是一个调节因子 (常数), 可能通过验证集来学习.
• 第二个累加是三重循环.
• ${\eta }_{ij}=1$ 表示 ${\overrightarrow{x}}_j$ 为 ${\overrightarrow{x}}_i$ 类别相同的目标邻居; 否则这一部分为 $0$.
• $(1-y_{il})=1$ 表示 ${\overrightarrow{x}}_i$ 与 ${\overrightarrow{x}}_l$ 类别不同.
• 方括号里面的 1 表示一定的容忍性, 否则后面的值一般小于 $0$.
• 方括号里面的第 2 项表示与有效邻居的距离, 越小越好.
• 方括号里面的第 3 项表示与异类对象的距离, 越大越好.
• 下标的 $+$ 表示如果表达式小于 $0$, 就使它为 $0$. 即控制非负.
  疑问:
• 为什么方括号里面要成对地计算?
  回答: 希望每个的有效邻居比异类数据近. 如果不成对地检查, 就难于使用下标 $+$.
• 不知道方括号中的 $1$ 是否可以替换为别的常数.
• 不需要正则项防止过拟合?
• 为什么是半正定的?

4. 小结

• 成对计算, 关注局部性.