• 【Paper】2013_Attitude and Altitude Controller Design for Quad-Rotor Type MAVs

    2013_Attitude and Altitude Controller Design for Quad-Rotor Type MAVs

    文章目录

    1. Introduction

    2. Controlled object

    3. Attitude modeling and controller design

    3.1 Attitude modeling

    τ = J ϕ ¨ (1) \tau = J \ddot{\phi} \tag{1} τ=Jϕ¨​(1)

    其中
    τ \tau τ 表示转矩向量
    J J J 表示转动惯量
    ϕ \phi ϕ 表示姿态欧拉角

    G u ϕ ( s ) = ϕ ( s ) u ( s ) = k J ( 1 + T s ) s 2 (2) G_{u\phi}(s) = \frac{\phi(s)}{u(s)} = \frac{k}{J(1+Ts)s^2} \tag{2} Guϕ​(s)=u(s)ϕ(s)​=J(1+Ts)s2k​(2)
    其中
    u u u 表示控制输入
    k k k 表示系统内部参数
    T T T 表示系统内部参数

    a m = g ϕ + a d (3) a_m = g \phi + a_d \tag{3} am​=gϕ+ad​(3)
    其中
    g g g 表示重力加速度
    a m a_m am​ 表示测量的加速度
    a d a_d ad​ 表示动态加速度

    m a d = m g ϕ − K ∫ a d  d t (4) m a_d = m g \phi - K \int a_d ~ \text{d}t \tag{4} mad​=mgϕ−K∫ad​ dt(4)
    其中
    K K K 表示空气阻力系数
    m m m 表示质量

    因此，由姿态角到动态加速度的传递函数为
    a d ( s ) = ( m g / K ) s ( m / K ) s + 1 ϕ ( s ) (5) a_d(s) = \frac{(mg/K)s}{(m/K)s+1} \phi(s) \tag{5} ad​(s)=(m/K)s+1(mg/K)s​ϕ(s)(5)

    在这里插入图片描述

    [ x ˙ 1 x ˙ 2 x ˙ 3 x ˙ 4 ] = [ 1 T 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 g 0 − K m ] [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] + [ k J T 0 0 0 ] u [ y 1 y 2 ] = [ 0 1 0 0 0 0 g − 1 ] [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] (6)

    [x˙1x˙2x˙3x˙4]=[1T000100001000g0−Km][x1x2x3x4]+[kJT000]u[y1y2]=[010000g−1][x1x2x3x4]" role="presentation" style="position: relative;">[x˙1x˙2x˙3x˙4]=[1T000100001000g0−Km][x1x2x3x4]+[kJT000]u[y1y2]=[010000g−1][x1x2x3x4]
    \tag{6} ⎣ ⎡​x˙1​x˙2​x˙3​x˙4​​⎦ ⎤​[y1​y2​​]​=⎣ ⎡​T1​100​001g​0000​000−mK​​⎦ ⎤​⎣ ⎡​x1​x2​x3​x4​​⎦ ⎤​+⎣ ⎡​JTk​000​⎦ ⎤​u=[00​10​0g​0−1​]⎣ ⎡​x1​x2​x3​x4​​⎦ ⎤​​(6)

    其中
    x 1 x_1 x1​ 表示角加速度
    x 2 x_2 x2​ 表示角速度
    x 3 x_3 x3​ 表示角度
    x 4 x_4 x4​ 表示动态加速度
    y 1 y_1 y1​ 表示角速度
    y 2 y_2 y2​ 表示测量的加速度

    在这里插入图片描述

    3.2 MRSMC controller design

    在这里插入图片描述

    3.2.1 Design of the reference model

    x ˙ m = A m x m + B m r y m = C m x m (7)

    x˙m=Amxm+Bmrym=Cmxm" role="presentation" style="position: relative;">x˙m=Amxm+Bmrym=Cmxm
    \tag{7} x˙m​ym​​=Am​xm​+Bm​r=Cm​xm​​(7)

    其中
    r r r 表示参考信号

    令 C m = C , e = x − x m C_m=C, e=x-x_m Cm​=C,e=x−xm​，有
    e ˙ = A x + B u − A m x m − B m r = A x − A m x m + B u − B m r = A x + A m e − A m x + B u − B m r = A m e + ( A − A m ) x + B u − B m r (8)

    e˙=Ax+Bu−Amxm−Bmr=Ax−Amxm+Bu−Bmr=Ax+Ame−Amx+Bu−Bmr=Ame+(A−Am)x+Bu−Bmr" role="presentation" style="position: relative;">e˙=Ax+Bu−Amxm−Bmr=Ax−Amxm+Bu−Bmr=Ax+Ame−Amx+Bu−Bmr=Ame+(A−Am)x+Bu−Bmr
    \tag{8} e˙​=Ax+Bu−Am​xm​−Bm​r=Ax−Am​xm​+Bu−Bm​r=Ax+Am​e−Am​x+Bu−Bm​r=Am​e+(A−Am​)x+Bu−Bm​r​(8)

    使得系统满足如下条件：
    A m − A = B K 1 B m = B K 2 (9)

    Am−A=BK1Bm=BK2" role="presentation" style="position: relative;">Am−A=BK1Bm=BK2
    \tag{9} Am​−ABm​​=BK1​=BK2​​(9)

    那么有
    e ˙ = A m e + ( A − A m ) x + B u − B m r = A m e − B K 1 x + B u − B K 2 r = A m e − B ( K 1 x + K 2 r − u ) (10)

    e˙=Ame+(A−Am)x+Bu−Bmr=Ame−BK1x+Bu−BK2r=Ame−B(K1x+K2r−u)" role="presentation" style="position: relative;">e˙=Ame+(A−Am)x+Bu−Bmr=Ame−BK1x+Bu−BK2r=Ame−B(K1x+K2r−u)
    \tag{10} e˙​=Am​e+(A−Am​)x+Bu−Bm​r=Am​e−BK1​x+Bu−BK2​r=Am​e−B(K1​x+K2​r−u)​(10)

    为了保证输出 y m y_m ym​ 追踪到 r r r，即 y m − r → 0 y_m - r \rightarrow 0 ym​−r→0，直流增益参数调整为 1。
    当时间趋于无穷时，最终方程为：
    A m x m + B m r = 0 (11) A_m x_m + B_m r = 0 \tag{11} Am​xm​+Bm​r=0(11)

    此时的输出 y m y_m ym​ 为
    y m = − C m A m − 1 B m r = − C m A m − 1 B K 2 r (12)

    ym=−CmAm−1Bmr=−CmAm−1BK2r" role="presentation" style="position: relative;">ym=−CmAm−1Bmr=−CmAm−1BK2r
    \tag{12} ym​​=−Cm​Am−1​Bm​r=−Cm​Am−1​BK2​r​(12)

    于是 K 2 = ( − C m A m − 1 B ) − 1 K_2 = (-C_m A^{-1}_m B)^{-1} K2​=(−Cm​Am−1​B)−1 同时 B m B_m Bm​ 有
    B m = B K 2 = B ( − C m A m − 1 B ) − 1 (13)

    Bm=BK2=B(−CmAm−1B)−1" role="presentation" style="position: relative;">Bm=BK2=B(−CmAm−1B)−1
    \tag{13} Bm​​=BK2​=B(−Cm​Am−1​B)−1​(13)

    A m = [ − a 1 − a 2 − a 3 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 g 0 − 0.55 ] (14)

    Am=[−a1−a2−a30100001000g0−0.55]" role="presentation" style="position: relative;">Am=[−a1−a2−a30100001000g0−0.55]
    \tag{14} Am​​=⎣ ⎡​−a1​100​−a2​01g​−a3​000​000−0.55​⎦ ⎤​​(14)

    本文中参数选择为
    a 1 = 18 a_1 = 18 a1​=18，
    a 2 = 160 a_2 = 160 a2​=160，
    a 3 = 600 a_3 = 600 a3​=600。

    在这里插入图片描述

    3.2.2 Design of the SMC control loop

    ε y = y − y m (15) \varepsilon_y = y - y_m \tag{15} εy​=y−ym​(15)

    e ˙ s = [ e ˙ ε ˙ y ] = [ A m 0 C m 0 ] [ e ε y ] + [ B 0 ] u s = A s e s + B s u s (16)

    e˙s=[e˙ε˙y]=[Am0Cm0][eεy]+[B0]us=Ases+Bsus" role="presentation" style="position: relative;">e˙s=[e˙ε˙y]=[Am0Cm0][eεy]+[B0]us=Ases+Bsus
    \tag{16} e˙s​=[e˙ε˙y​​]​=[Am​Cm​​00​][eεy​​]+[B0​]us​=As​es​+Bs​us​​(16)

    其中 u s = − ( K 1 x + K 2 r − u ) u_s = -(K_1 x + K_2 r - u) us​=−(K1​x+K2​r−u)

    切换函数 σ ∈ R \sigma \in \R σ∈R 选择为
    σ = S e s σ ˙ = S A s e s − S B s ( K 1 x + K 2 r − u ) (17)

    σ=Sesσ˙=SAses−SBs(K1x+K2r−u)" role="presentation" style="position: relative;">σ=Sesσ˙=SAses−SBs(K1x+K2r−u)
    \tag{17} σσ˙​=Ses​=SAs​es​−SBs​(K1​x+K2​r−u)​(17)

    5. Experiments and experimental results

    5.1 Attitude experiments

    在这里插入图片描述

    5.2 Altitude experiments

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

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  • 原文地址：https://blog.csdn.net/weixin_36815313/article/details/126567528