【数据结构】动态规划：如何通过最优子结构，完成复杂问题求解

什么是动态规划

从数学的视角来看，动态规划是一种运筹学方法，是在多轮决策过程中的最优方法。

那么，什么是多轮决策呢？其实多轮决策的每一轮都可以看作是一个子问题。从分治法的视角来看，每个子问题必须相互独立。但在多轮决策中，这个假设显然不成立。这也是动态规划方法产生的原因之一。

最短路径问题

接下来。我们来看一个非常典型的例子，最短路径问题。如下图所示：

每个结点是一个位置，每条边是两个位置之间的距离。现在需要求解出一条由 A 到 G 的最短距离是多少。

不难发现，我们需要求解的路线是由 A 到 G，这就意味着 A 要先到 B，再到 C，再到 D，再到 E，再到 F。每一轮都需要做不同的决策，而每次的决策又依赖上一轮决策的结果。

例如，做 D2 -> E 的决策时，D2 -> E2 的距离为 1，最短。但这轮的决策，基于的假设是从 D2 出发，这就意味着前面一轮的决策结果是 D2。由此可见，相邻两轮的决策结果并不是独立的。

**动态规划还有一个重要概念叫作状态。**在这个例子中，状态是个变量，而且受决策动作的影响。例如，第一轮决策的状态是 S1，可选的值是 A，第二轮决策的状态是 S2，可选的值就是 B1 和 B2。以此类推。

动态规划的基本方法