填矩阵 码蹄集

题目说明

有一个 1 × n 的矩阵，现在往里面填方块，一共有三种方块：1 × 1 的白块，1 × 1 的黑块，1 × k 的黑块，方块放置时必须是黑白交替的，矩阵不用填满，但要求最下面的块和最上面的块必须是黑色的，问有多少种放置方法。

格式

输入格式： 输入两个整数n，k代表矩阵的高度和黑块的高度

输出格式：输出一个整数代表放置方法

样例

输入：5    3

输出：6

数据范围

2 ≤ k ≤ 10， 1 ≤ n ≤ 100

代码

C++

Python

知识准备   

Python map() 函数

Python map() 函数 (w3school.com.cn)https://www.w3school.com.cn/python/ref_func_map.aspPython中“//”是一个算术运算符，表示整数除法，它可以返回商的整数部分（向下取整）

Python range() 函数 返回一个左闭右开的区间，如 range(3) 返回，0，1，2

def factorial(n):
    if n < 1:
        return 1
    else:
        ans = 1
        for i in range(1,n+1):
            ans *= i
        return ans
 
def main():
    n, k = map(int, input().split(" "))  #设置输入数据的格式
 
    # 把白块和黑块看成一个整体
    num1 = (n-1)//(2)       #当最底端为黑块时，其余位置最多可存放的黑块数
    num2 = (n-1)//(k+1)     #当最底端为黑块时，其余位置最多可存的1×k的黑块数
    num = 0
    sum = 0
    for i in range(num1+1):
        for j in range(num2+1):
            # 当底端为1×1的黑块时
            if 1 + i*2 + j*(k+1) <= n:    #判断总数不超过可填入的矩形块数
                # 排列组合，i和j整体的排列组合方式，除去i和j自身的排列组合
                num = factorial(i+j) // (factorial(i) * factorial(j))
                sum += num
            # 当底端为1×k的黑块时
            if k + i*2 + j*(k+1) <= n:
                sum += num
 
 
    print(sum)
if __name__ == '__main__':
    main()

思路说明

这道题的主要思路在于对于几个规定方块的排列组合，对于1×1的黑块和1×1的白块可以看作是一组，这样在排列时更加方便；

同时进行分类讨论，规定，当1×1的黑块为底时，（注意题目要求，开头和结尾均为黑块）剩余空缺的可能存在情况，剩余的空缺中可填充的方块有两种，一种是1×1的黑块，一种是1×k的黑块，不论哪种，都把它和它下方的唯一的一块白块看作一个整体；

具体计算可参考下方代码， (n-1) 是代表除去最底端的一块

 num1 = (n-1)//(2)       #当最底端为黑块时，其余位置最多可存放的黑块数
 num2 = (n-1)//(k+1)     #当最底端为黑块时，其余位置最多可存的1×k的黑块数

那么当1×k的黑块为底时又该如何处理

    for i in range(num1+1):
        for j in range(num2+1):
            # 当底端为1×1的黑块时
            if 1 + i*2 + j*(k+1) <= n:  #判断总数不超过可填入的矩形块数
                # 排列组合，i和j整体的排列组合方式，除去i和j自身的排列组合
                num = factorial(i+j) // (factorial(i) * factorial(j))
                sum += num
            # 当底端为1×k的黑块时
            if k + i*2 + j*(k+1) <= n:
                sum += num

当最低端是 1×k 的黑块时，只需要在总数上在加一次该轮的排列组合所得的num数即可。

此处是分层思想，只管排列，对所有层进行排列，而不关心层内的组合方式，能不能排列，或者怎么排列是由判定条件决定的，需要注意，满足条件后的排列，不考虑最底层，因为它已经固定了。所以可以直接加num，只要它可以满足条件就可以，只要有空间可以塞进去，就可以将该方块看作一层。