【考研线代】三. 向量

第三章 向量

3.1 概念，运算

3.1.1 基本概念

n维向量，向量a的分量，行向量，列向量，两个向量同维

向量组：若干个同维数的行向量组成的集合

延伸组，缩短组：前n维数的行向量相同，延伸组维度更高，缩短组维度更低。

3.1.2 运算

加法：对应维度相加

数乘：全部维度乘数

向量的内积：n维行向量α，β,类似矩阵乘法，行向量乘列向量 得到一个 数。也称**（点乘／数量积）**。就是两个向量对应位相乘之后求和的操作。

施密特正交化：设向量组a1,a2,a3线性无关
$${\beta }_1={\alpha }_1$$

$${\beta }_2={\alpha }_2-\frac{({\alpha }_1,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1$$

$${\beta }_3={\alpha }_3-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_2)}{({\beta }_2,{\beta }_2)}{\beta }_2$$

3.2 线性表出，相关无关，向量组

3.2.1 概念

向量组α的一个线性组合：
$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+...+k_m{\alpha }_m$$
向量β可由向量组α的线性表出：
$$\beta =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+...+k_m{\alpha }_m$$
线性相关：k1，k2…不全为0：
$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+...+k_m{\alpha }_m=0$$

3.2.2 推论 & 定理

1. 含有零向量，相等向量或成比例向量的向量组是线性相关的。

2. 考察向量组的线性相关性 == 对应齐次方程组是否有非零解

• 若有非零解，则为线性相关<==> 秩
• 若仅有零解，则为线性无关

3. n个n维向量线性相关，这些向量相乘的行列式为0
4. n+1个n维向量必线性相关

定理：

• 部分组相关，整体组相关。整体组无关，部分组无关。
• 若n维向量组线性无关，增加了向量β后向量组线性相关，那么向量β可以由原本的向量组线性表出，且表示法唯一。

线性无关:
$$当k_1{a}_1+k_2{a}_2+...+k_s{a}_s=0时，必有k_1=0,k_2=\mathrm{0...}{k}_s=0。$$
经典题目：

1. 已知a1,a2,a3线性无关，证明a1+a2,a2+a3,a3+a1线性无关。

3.3 矩阵的秩，向量组的秩

3.3.1 矩阵的秩

3.3.1.1 基本概念

k阶子式：m*n矩阵A中任取k阶的行和列组合新的行列式。

矩阵的秩r：存在r阶子式的D!=0，且所有的r+1阶子式（如存在）全为0。r(A) = r

（人话：不等于0的行列式最高有几阶。）

规定：零矩阵的秩为0，若秩大于0，则不是零矩阵。

基本意义：
$$r(A)=r⟺矩阵A中非零子式的最高阶数是r$$

$$r(A)<r⟺矩阵A中每一个r阶子式都是0$$

$$r(A)\ge r⟺矩阵A中存在r阶子式不全为0$$

3.3.1.2 秩的性质

1. 设A是n阶矩阵，阶数与可逆的关系

$$r(A)=n⟺|A|!=0⟺A可逆$$

$$r(A)=n⟺|A|!=0⟺A可逆$$

2. 矩阵的最大阶数取决于最短的边

$$0<=r(A_{mn})<=min(m,n)$$

3. 矩阵转置的秩不变：

$$r(A^T)=r(A)$$

4. 伴随矩阵的秩A*的秩有三种情况：0,1和n。

4. 两个矩阵相加的秩一定不大于两个矩阵秩的和
   $$r(A+B)<=r(A)+r(B)$$

5. 矩阵倍乘一个数，秩不会变
   $$r(kA)=r(A)$$

6. 矩阵相乘的秩 不大于 两个矩阵的最小的秩
   $$r(AB)<=min(r(A),r(B))$$

​ 7. 经初等变换，矩阵的秩不变

推论：若P、Q可逆，则存在r(PAQ) = r(A)

8. 若A是m*n矩阵，B是n*s矩阵
   $$AB=O\to r(A)+r(B)<=n$$

9. 特殊分块矩阵的秩的计算

r [ A O O B ] = r ( A ) + r ( B ) r\left[

\right] =r(A) + r(B) r[AO​OB​]=r(A)+r(B)

10. 三秩相等：矩阵A的秩=行向量组的秩=列向量组的秩
    $$r(A)=r(\alpha )=r(\beta )$$
    涉及到向量组的秩，3.3.2再提一次。

3.3.1.3 心得

遇到秩的题目，需要使用概念或者通过行列式变化，表示对应矩阵的行列式的值。通过判定它们的关系r(A)和n，判定变量。

3.3.2 向量组的秩

3.3.2.1 基本概念

极大线性无关组：挑出来的一个向量组线性无关，再增加任何一个向量，向量组就线性相关，那么挑出来的向量组就是原向量组的一个极大线性无关组。

向量组的秩：向量组的极大线性无关组的向量个数

向量组的线性表出：向量组(I)中的每一个向量都可以由向量组(II)里面的向量线性表出，称向量组(I)可以由向量组(II)线性表出。

等价向量组：两个向量组可以互相线性表出

（类比：矩阵A和B等价，A经过初等变换得到矩阵B）

矩阵等价，向量组可以不等价。

3.3.2.2 性质

1. 向量组的极大无关组一般不唯一，但是向量个数是一样的。

2. 本身就是线性无关的向量组，它的极大线性无关组就是它自己。

3. 只有一个零向量组成的向量组没有极大线性无关组。

4. 若向量组（I）可由向量组（II）线性表出，则r(I)<=r(II)

5. 三秩相等，直接举例子。

   

3.3.2.3 技巧

求一个向量组的极大线性无关组：把那些列向量横向拼起来，做初等行变换，得到阶梯型矩阵。每行第一个非0数在第几列，极大线性无关组就是哪几个列向量组成。

3.4 正交矩阵，正交化

出现场景：二次型，特征值。（预热一下）

3.4.1 概念

n阶矩阵A，满足：
$$A{A}^T=A^{T}A=E$$

3.4.2 性质

1. 根据可逆的定义：

$$A^{-1}=A^T$$

2. 对应的行列式的值

$$过程：|A{A}^T|=|A||A^T|=|A{|}^2=|E|=1$$

$$结论：|A|=1或|A|=-1$$

3. A的行（列）向量都是单位向量且两两正交

3.4.3 相关方法

单位化

这个比较简单，令向量的平方和为1，可以提取出公因数。

正交化

单个向量的正交化求解：未知向量a3，与已知向量a1，a2正交。求a3

1. 设a3 = （x1，x2，x3）
2. 通过内积都为0，构造方程
   { a 3 T a 1 = 0 a 3 T a 2 = 0 \left\{
   a3Ta1=0a3Ta2=0" role="presentation" style="position: relative;">aT3a1=0aT3a2=0$$\begin{array}{r}{a}_3^T{a}_1=0\\ a_3^T{a}_2=0\end{array}$$
   \right. {a3T​a1​=0a3T​a2​=0​
3. 平方和为1，单位化

施密特正交化：通过线性无关的向量组 求对应的正交化向量组

4. 二轮

4.1 解题技巧：外积的秩

证明过程：