自动控制原理4.3---广义根轨迹

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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1.参数根轨迹

除根轨迹增益 $K^*$ 为变化参数的根轨迹外，其他情形下的根轨迹统称为广义根轨迹；如：系统的参数根轨迹，开环传递函数中零点个数多于极点个数的根轨迹，零度根轨迹；
将负反馈系统中 $K^*$ 变化时的根轨迹称为常规根轨迹；
以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹称为参数根轨迹；

设系统闭环特征方程为：
$1 + G (s) H (s) = 0$
进行等效变换：
$A\frac{P(s)}{Q(s)}=-1$
其中： $A$ 为除 $K^*$ 外，系统任意变化参数， $P (s) 、 Q (s)$ 为两个与 $A$ 无关的首一多项式；

上两式相等，则：
$Q (s) + A P (s) = 1 + G (s) H (s) = 0$
可得等效单位系统，其等效开环传递函数为
$G_1(s)H_1(s)=A\frac{P(s)}{Q(s)}$
利用上式画出的根轨迹就是参数 $A$ 变化时的参数根轨迹；

2.附加开环零点的作用

设系统开环传递函数为：
$G(s)H(s)=\frac{K^*(s-z_1)}{s(s^2+2s+2)}$
其中： $z_1$ 为附加的开环实数零点，其值可在 $s$ 左半平面内任意选择；

附加开环零点：

当开环极点位置不变，在系统中附加开环负实数零点时，可使系统根轨迹向 $s$ 左半平面方向弯曲，或者说，附加开环负实数零点，将使系统的根轨迹图发生趋向附加零点方向变形，且这种影响将随开环零点接近坐标原点的程度而加强；
如果附加的开环零点不是负实数零点，二是具有负实部的共轭零点，则它们的作用与负实数零点的作用完全相同；
在 $s$ 左半平面内适当位置上附加开环零点，可以显著改善系统的稳定性；
增加开环零点即增加了闭环零点，闭环零点对系统动态性能的影响，相当于减小闭环系统的阻尼，从而使系统的过渡过程有出现超调的趋势，且这种作用将随闭环零点接近坐标原点的程度而加强；
只有当附加零点相对于原有开环极点的位置选配得当，才能使系统的稳定性能和动态性能同时得到显著改善；

3.零度根轨迹

如果研究的控制系统为非最小相位系统，则不能采用常规根轨迹的法则绘制系统根轨迹，其相角遵循 $0°+2k\pi$ 条件，而不是 $180°+2k\pi$ 条件，因此称为零度根轨迹；非最小相位系统指在 $s$ 右半平面具有开环零极点的控制系统；

零度根轨迹来源：一是非最小相位系统中包含 $s$ 最高次幂的系数为负的因子；二是控制系统中包含正反馈内回路；前者是由于被控对象，如：飞机、导弹本身特性所产生，或在系统结构图变换过程中所产生；后者是由于某种性能指标要求，使得在复杂的控制系统设计中，必须包含正反馈内回路；

设控制系统如上图，内回路采用正反馈，正反馈回路的闭环传递函数为：
$\frac{C(s)}{R_1(s)}=\frac{G_2(s)}{1-G_2(s)H_2(s)}$
得到正反馈系统的根轨迹方程：
$G_2(s)H_2(s)=1$
可等效为如下两个方程：
$\sum_{j=1}^m\angle(s-z_j)-\sum_{i=1}^n\angle(s-p_i)=0°+2k\pi；k=0，±1，±2，\dots；K^*=\frac{\displaystyle\prod_{i=1}^n|s-p_i|}{\displaystyle\prod_{j=1}^m|s-z_j|}$

左式称为零度根轨迹的相角条件，右式称为零度根轨迹的模值条件；

4.零度根轨迹图绘制法则总结

$序号$	$内容$	$法则$
$法则 1$	$根轨迹的起点和终点$	$根轨迹起于开环极点 (包括无限极点) ，终于开环零点 (包括无限零点)$
$法则 2$	$根轨迹的分支数、对称性和连续性$	$\begin{aligned} 根轨迹的分支数等于开环极点数 n (n > m) 或开环零点数 m (m > n), \\ 根轨迹对称于实轴 \end{aligned}$
$法则 3$	$根轨迹的渐近线$	$\begin{aligned} n - m 条渐近线与实轴的交角和交点为： φ_{a} = \frac{2 k π}{n - m} ； \\ 其中： k = 0, 1, \dots, n - m - 1 ； σ_{a} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} p_{i} - \sum_{j = 1}^{m} z_{j}}{n - m} \end{aligned}$
$法则 4$	$根轨迹在实轴上的分布$	$\begin{aligned} 实轴上某区域，若其右方开环实数零、极点个数之和为偶数， \\ 则该区域为根轨迹 \end{aligned}$
$法则 5$	$根轨迹的分离点与分离角$	$\begin{aligned} l 条根轨迹分支相遇，分离点坐标由： \sum_{j = 1}^{m} \frac{1}{d - z_{j}} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{d - p_{i}} \\ 确定分离角等于 (2 k + 1) / l ； \end{aligned}$
$法则 6$	$根轨迹的起始角和终止角$	$\begin{aligned} 起始角 : θ_{p_{i}} = 2 k π + (\sum_{j = 1}^{m} φ_{z_{j} p_{i}} - \sum_{j = 1 (j \neq i)}^{n} θ_{p_{j} p_{i}}) \\ 终止角 : φ_{z_{i}} = 2 k π - (\sum_{j = 1 (j \neq i)}^{m} φ_{z_{j} z_{i}} - \sum_{j = 1}^{n} θ_{p_{j} z_{i}}) \end{aligned}$
$法则 7$	$根轨迹与虚轴的交点$	$根轨迹与虚轴交点的K^*值和\omega值，利用劳斯判据确定$
$法则 8$	$根之和$	$\displaystyle\sum_{i=1}^ns_i=\sum_{i=1}^mp_i$

注：上表红色标记为相对于常规根轨迹变化的规则；

5.实例分析

设正反馈系统结构图如下图内回路所示，其中：
$G(s)=\frac{K^*(s+2)}{(s+3)(s^2+2s+2)}，H(s)=1$

绘制该系统的根轨迹图。

解：

在复平面上画出开环极点： $p_1=-1+{\rm j}，p_2=-1-{\rm j}，p_3=-3$ 及开环零点 $z_1=-2$ ；当 $K^*$ 从零增大到无穷时，根轨迹起于开环极点，终于开环零点；
确定实轴上的根轨迹。在实轴上，根轨迹存在于 $[-2,+\infty)$ 和 $[-3,-\infty)$ ；
确定根轨迹的渐近线。有 $n - m = 2$ 条根轨迹趋于无穷，交角为
$\varphi_a=\frac{2k\pi}{3-1}=0°和180°，k=0,1$
确定分离点。由方程
$\frac{1}{d+2}=\frac{1}{d+3}+\frac{1}{d+1-{\rm j}}+\frac{1}{d+1+{\rm j}}$
整理可得：
$(d+0.8)(d^2+4.7d+6.24)=0\Rightarrow{d=-0.8}，分离角：90°$
确定起始角。对于复数极点 $p_1=-1+{\rm j}$ ，根轨迹起始角为：
$\theta_{p_1}=45°-(90°+26.6°)=-71.6°$
根据对称性，根轨迹从 $p_2=-1-{\rm j}$ 的起始角 $\theta_{p_2}=71.6°$ ；
根轨迹如下图：
确定临界开环增益。坐标原点对应的根轨迹增益为临界值，由模值条件：
$K_c^*=\frac{|0-(-1+{\rm j})|·|0-(-1-{\rm j})|·|0-(-3)|}{|0-(-2)|}=3$
由于 $K=K^*/3$ ，即临界开环增益 $K_c=1$ ；为使该正反馈系统稳定，开环增益应该小于 $1$ 。

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