自动控制原理4.4---系统性能分析

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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1.闭环零极点与时间响应

实例说明：

闭环传递函数如下：
$$\Phi (s)=\frac{20}{(s+10)(s^2+2s+2)}$$
系统的单位阶跃响应：
$$c(t)=1-0.024{\mathrm{e}}^{-10t}+1.55{\mathrm{e}}^{-t}\cos (t+129°)$$
其中：指数项由闭环极点$s_1=-10$产生；衰减余弦项由闭环复数极点$s_{2,3}=-1\pm \mathrm{j}$产生；指数项衰减迅速且幅值很小，可以忽略，则有：
$$c(t)\approx 1+1.55{\mathrm{e}}^{-t}\cos (t+129°)$$

• 系统的动态性能基本上由接近虚轴的闭环极点确定；这样的极点，称为主导极点；
• 主导极点定义为对整个时间响应过程起主要作用的闭环极点；
• 时间响应分量的消逝速度，除取决于相应闭环极点的实部值外，还与该极点处的留数，即闭环零、极点之间的相互位置有关；
• 只有既接近虚轴，又不十分接近闭环零点的闭环极点，才可能成为主导极点；
• 如果闭环零、极点相距很近，那么这样的闭环零、极点常称为偶极子；偶极子有实数偶极子和复数偶极子之分，复数偶极子必共轭出现；只要偶极子不十分接近坐标原点，它们对系统的影响甚微，可以忽略它们的存在；
• 接近坐标原点的偶极子对系统动态性能的影响必须考虑；不论偶极子接近坐标原点的程度如何，并不影响系统主导极点的地位；
• 确定偶极子法则：如果闭环零、极点之间的距离比它们本身模值小一个数量级，则这一对闭环零、极点就构成偶极子；
• 采用主导极点代替系统全部闭环极点来估算系统性能指标的方法，称为主导极点法；采用主导极点时，在全部闭环极点中，选留最靠近虚轴而又不十分靠近闭环零点的一个或几个闭环极点作为主导极点，略去不十分接近原点的偶极子，以及比主导极点距虚轴远六倍以上的闭环零、极点；

2.系统性能定性分析

闭环系统零、极点位置对时间响应性能的影响总结：

• 稳定性。如果闭环极点全部位于$s$左半平面，则系统一定是稳定的，即稳定性只与闭环极点位置有关，与闭环零点无关；
• 运动形式。如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极点，则时间响应一定是单调的；如果闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的；
• 超调量。超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率${\sigma }_1/{\omega }_d=\zeta /\sqrt{1-{\zeta }^2}$，并与其他闭环零、极点接近坐标原点的程度有关；
• 调节时间。调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的实部绝对值${\sigma }_1=\zeta {\omega }_n$；如果实数极点距虚轴最近，且附近没有实数零点，则调节时间主要取决于该实数极点的模值；
• 实数零、极点影响。零点减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增大；极点增大系统阻尼，使峰值时间滞后，超调量减小；它们的作用，随着本身接近坐标原点的程度而加强；
• 偶极子及其处理。如果零、极点之间的距离比它们本身的模值小一个数量级，则构成偶极子；远离原点的偶极子影响可忽略，接近原点的偶极子影响必须考虑；
• 主导极点。在$s$平面上，最靠近虚轴而附近没有闭环零点的一些闭环极点，对系统性能影响最大，称为主导极点；凡比主导极点实部大$3～6$倍以上的其他闭环零、极点影响可忽略；
• 闭环实数主导极点对系统性能的影响：闭环实数主导极点作用相当于增大系统的阻尼，使峰值时间滞后，超调量下降；如果实数极点比共轭复数极点更接近坐标原点，甚至可以使振荡过程变为非振荡过程；