后缀数组学习笔记 - 更新ing

后缀数组

定义：

1.后缀i：字符串从第i位到最后一位的字串，如’abcd’的 后缀3 为 ‘cd’
2.suffix[i]：表示后缀i。对于字符串’ABABCDDD’有

3.sa[i]：（对这些后缀排序后）排名第i的后缀排序前的排名

4.rank[i]：第i个后缀排序后的排名。

5.height[i]：（排序后）第i-1个后缀和（排序后）第i个后缀的最大公共前缀，如 ‘DDD’ 和 ‘DD’，最大公共前缀长度即为 2。

性质：

1.若rank[i] = sa[j]则sa[i] = rank[j]，rank[sa[i]] = sa[rank[i]] = i
2.如果rank[j] min ⁡ { h e i g h t [ r a n k [ j ] + 1 ] , h e i g h t [ r a n k [ j ] + 2 ] , . . . , h e i g h t [ r a n k [ k ] ] } \min \{height[rank[j]+1],height[rank[j]+2],...,height[rank[k]]\} min{height[rank[j]+1],height[rank[j]+2],...,height[rank[k]]}
3.$$height[rank[i]]\ge height[rank[i-1]]-1$$

证明

1.略
2.假如suffix[i]和suffix[j]，有rank[i] 对于rank[i] +1 = rank[j]，显然成立。
对于rank[i] +1 < rank[j]的情况，中间字符串的大小介于它俩之间，第sa(i,j)位及之前肯定都是相等的，sa(i,j)+1位的转变肯定是在其中某两个字符串上发生的，所以也必然成立。

3.若排序后suffix[k-1]刚好排在suffix[i-1]前面，且它们的最小前缀为height[rank[i-1]]且不为0。
此时必定满足suffix[k]刚好排在suffix[i]前面，且它们的最小公共前缀 height[rank[i]] 正好为 height[rank[i-1]]-1
如果height[rank[i-1]] = 0，显然也成立。

求取rank和sa

算法原理

有一种类似于基数排序的方法。
以aaabcda为例子
$$①先把n位分成n个字符，放在一个数组里，求出每个字母的排名$$

$$②设i为0，把每一个字符，加上后面的第2^{i-1}个字符形成一个小字符串，用排名数字代替字母后，再次排名，得到每一个子串的排名$$

$$③令i+1，把字符串看成一个新的字符，继续执行②，直到1+2^{i-1}>n，即可得到n个后缀子串的排名，即rank和sa，实际求取的时候全程用数字代替字符，免去字符长度带来的复杂度$$

$$每次取后面第2^{i-1}个字符，为的就是能够拼出完整且正确的后缀$$

代码实现

在这里插入代码片
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