矩阵的初等变换与线性方程组【线性代数系列（三）】

矩阵的初等变换与线性方程组【线性代数系列（三）】

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1.矩阵的初等变换

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1.1 初等变换

矩阵的初等变换可以分为初等行变换和初等列变换。
 
具体有三种变换方式：
   ①对换两行（列）
   ②第i行（列）的所有元乘以常数k（k≠0）
   ③把某一行（列）所有元的k倍加到令一行（列）的对应元上去。（$r_i+k{r}_j$）
 

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1.2 等价关系

如果矩阵A经过有限次 初等行变换变成了矩阵B，就可以称矩阵A与矩阵B行等价；
如果矩阵A经过有限次 初等列变换变成了矩阵B，就可以称矩阵A与矩阵B列等价；
如果矩阵A经过有限次 初等变换变成了矩阵B，就可以称矩阵A与矩阵B等价，记作A~ B。
 
矩阵之间的等价关系具有以下性质：
   ①反身性 A~A。（即矩阵A与自身等价）
   ②对称性 若A~ B，则 B~ A。（即若A等价于B，则B等价于A）
   ③传递性 若A~ B,B~ C，则A~ C。

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定理
 
设A与B为m×n矩阵，那么
 
A与B 行等价的充分必要条件是，存在m阶可逆矩阵P使得$PA=B$。
A与B 列等价的充分必要条件是，存在n阶可逆矩阵P使得$AQ=B$。
A与B 等价的充分必要条件是，存在m阶可逆矩阵P，及n阶可逆矩阵Q，使得$PAQ=B$。

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1.3 初等变换 矩阵类型

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1.3.1行阶梯矩阵

对非零矩阵，若满足
①非零行在零行的上边
②对任意非零行（如果存在上一行），非零行的首个非零元在 该非零行上一行的首个非零元 的右边。
 
这样的矩阵则称为行阶梯矩阵。

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1.3.2 行最简型矩阵

对 行阶梯矩阵，
 
如果还满足非零行的首非零元为1，且首非零元所在列的其他元都为0，则称该矩阵为行最简型矩阵。

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1.3.3 标准型

对 行最简型矩阵，
再施以初等变换，可以变成一种形状更简单的矩阵，称为标准型。
标准型矩阵可以用字母$F$表示，其特点是左上角是一个单位矩阵，其余元均为0。

对于$m\times n$矩阵A，总可经过初等变换，将其化为标准型：
 
               F = [ E r O O O ] m × n F=[ErOOO]

_{m×n} F=[Er​O​OO​]m×n​

如：
F = [ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] F= [1000001000001000000000000]

F=⎣ ⎡​10000​01000​00100​00000​00000​⎦ ⎤​

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1.4 初等矩阵

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵。
 
三种初等变换对应有三种初等矩阵。
 
初等矩阵都是可逆的。

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1.5 相关定理

设A是一个m×n矩阵，
对A实行一次初等行变换，相当于在A的左边乘相应的m阶初等矩阵。
对A实施一次初等列变换，相当于在A的右边乘相应的n阶初等矩阵。

方阵A可逆的充分必要条件是，存在有限个初等矩阵$P_1,P_2,...,P_n$，使得$A=P_1{P}_2...P_n$
 
方阵A可逆的充分必要条件是A与单位矩阵$E$行等价。

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2.矩阵的秩

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2.1 k阶子式

在m×n矩阵A中任取k行与k列(k≤m,k≤n)，位于这些行列交叉处的$k^2$个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式，称为A的k阶子式。
 
m×n矩阵的k阶子式共有$C_m^k{C}_n^k$个。

行列式的值不为0的子式，被称为非零子式。
 
若A与B行等价，则A与B中非零子式的最高阶数相等。
 
设在矩阵A中有一个不等于0的k阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在）全都为0，那么D称为A的最高阶非零子式，r称为 矩阵A的秩，记作R(A)

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2.2 相关概念与定理

①可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数，
所以可逆矩阵又称为 满秩矩阵，不可逆矩阵又称为 降秩矩阵。
 
②等价矩阵的秩相等。（若A等价于B，则$R(A)=R(B)$）
 
③若可逆矩阵P、Q使得$PAQ=B$，则$R(A)=R(B)$
 
④若P、Q可逆，则$R(PAQ)=R(A)$
 
⑤常常把矩阵化为 行阶梯型矩阵 的形式来求秩。

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⑥矩阵转置后，秩不变。
 
⑦ m a x { R ( A ) , R ( B ) } ≤ R ( A , B ) ≤ R ( A ) + R ( B ) max\{R(A),R(B)\}≤R(A,B)≤R(A)+R(B) max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)
 
⑧$R(A+B)\le R(A)+R(B)$
 
⑨R(AB)≤min{R(A),R(B)}
 
⑩若$A_{m\times n}{B}_{n\times l}=O$，则$R(A)+R(B)\le n$

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3.线性方程组的解

对有n个未知数的线性方程组：
      $a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n=b_1$
      $a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+...+a_{2n}{x}_n=b_2$
      $...$
      $a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+...+a_{mn}{x}_n=b_m$

也可以写成向量x为未知元的向量方程：
 
            $Ax=b$

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若该线性方程组有解，则称该线性方程组是相容的。若无解，则称之为不相容的。

对 n元线性方程组 $Ax=b$，利用系数矩阵A和增广矩阵$B=(A,b)$，
可以方便地讨论线性方程组是否相容的问题。
对n元线性方程组：
 
①无解 的充分必要条件是 $R(A)＜R(A,b)$
② 有唯一解 的充分必要条件是 $R(A)＜R(A,b)=n$
③ 有无限多解 的充分必要条件是 $R(A)=R(A,b)<n$
④有解 的充分必要条件是$R(A)=R(A,b)$。
⑤n元齐次线性方程组 $Ax=0$ 有非零解 的充分必要条件是 $R(A)＜n$。

以上定理不仅适用于n元线性方程组，对矩阵方程 $AX=B$求解矩阵$X$也是同理。

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定理
 
若$AB=C$（A、B、C都是矩阵），则R ( C ) ≤ m i n { R ( A ) , R ( B ) } (C)≤min\{R(A),R(B)\} (C)≤min{R(A),R(B)}

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4. python矩阵求秩 & 求解线性方程

python实现求解矩阵秩，及求解线性方程代码如下：

import numpy as np

# 先准备两个数组
x1 = np.array([[3, 1, 0], [-1, 2, 1], [3, 4, 2]])
x2 = np.array([0, 2, 3])

# 数组转化为矩阵A,b
A = np.mat(x1)
b = np.mat(x2)

# 线性方程组AX = b。将Ab拼接为增广矩阵B=(A,b) （b要先转置）
B = np.hstack((A, b.T))
print('增广矩阵：')
print(B)

print("======================求秩=======================")
print("A的秩为：{}".format(np.linalg.matrix_rank(A)))
print("b的秩为：{}".format(np.linalg.matrix_rank(b)))
print("B的秩为：{}".format(np.linalg.matrix_rank(B)))

# # 求解方程
print("=====================求解方程====================")
x = np.linalg.solve(A, b.T)
print("x={}".format(x))
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程序输出结果如下：
         

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本次分享就到这里，小啾感谢您的关注与支持！
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