【数学建模】实验设计方法

1.1 发展阶段

• 早期、传统实验设计阶段
  费歇尔在农村进行田间试验的过程中，对高产小麦品种的遗传进行研究。为减少偶然因素对试验的影响，他对各种试验因素的每一水平组进行了试验，并通过方差分析评价指标的优劣（用于排除偶然因素的影响），使小麦大幅度增产。
  方差分析——分析因素重要性的方法
• 中期：正交实验设计、回归实验设计为代表
• 现代：均匀试验设计

1.2 正交实验设计

该方法使用一种规范化的表格进行实验设计，可以用较少的试验次数，取得较为准确、可靠的优选结论。
正交实验设计主要可以完成：

1. 确定出各因素对试验指标的影响规律，得知哪些因素的影响是主要的、哪些因素的影响是次要的、哪些因素之间存在相互影响；
2. 选出各因素的一个水平组合来确定最佳生产条件
3. 正交实验的基础是正交表

正交实验法优点

1. 试验点代表性强，试验次数少
2. 不需做重复试验就可以估计试验误差
3. 可以分清因素的主次
4. 可以使用数理统计的方法处理试验结果，提出展望好条件

正交表

正交表特点

1. 机会均等：各列中每个数字出现的次数相等
2. 搭配均衡：任意两列中水平的不同搭配方式重复数相同（这两点称为正交性）
3. 正交：对正交表进行初等变换，不改变其正交性
4. 均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整齐
5. 整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀
6. 任意列中各水平重复出现的次数相等
7. 任意两列所构成的水平对是完全有序数字对，各水平对重复出现的次数相等

基本流程

极差分析

在完成试验收集完数据后，将要进行的是极差分析(也称方差分析）。
极差分析就是在考虑A因素时，认为其它因素对结果的影响是均衡的，从而认为，A因素各水平的差异是由于A因素本身引起的。

用极差法分析正交试验结果应引出以下几个结论：
①在试验范围内，各列对试验指标的影响从大到小的排队。
某列的极差最大，表示该列的数值在试验范围内变化时，使试验指标数值的变化最大。所以各列对试验指标的影响从大到小的排队，就是各列极差D的数值从大到小的排队。
②试验指标随各因素的变化趋势。
③使试验指标最好的适宜的操作条件（适宜的因素水平搭配）。
④对所得结论和进一步研究方向的讨论。

1.3 考虑交互作用的正交设计

在前面讨论中我们都是基于一个假设展开的，即在所有被考虑的对试验结果有影响的各因素之间对试验结果的影响是相互独立的，但是工程实践告诉我们这种情况很少出现，因此正交实验设计过程中考虑各因素的相互作用显得十分必要。

综合考虑实验目的、专业知识、以往经验及现有实验条件等多方面情况进行交互作用选择，一般原则是：
①忽略高级交互作用
②有选择地考察一级交互作用。通常只考察那些作用效果明显的，或试验要求必须考察的。
③试验允许的条件下，试验因素尽量取2水平

1.4 多指标试验

单指标试验：衡量试验效果的指标只有一个
多指标试验：衡量试验效果的指标有多个
多个指标之间又可能存在一定矛盾，一项指标好了，另一项指标却差了，这时需要兼顾各个指标，寻找使得每个指标都尽可能好的生产条件

在实际问题中，需要考虑的指标往往不止一个，有时是两三个甚至是多个，这都是多指标问题。解决多指标实验问题可采用两种方法：综合平衡法和综合评分法

1.5 正交实验的方差分析法

正交实验设计对于水平数较少时可以安排多因素
当水平数较多、因素个数少时使用均匀设计

2 均匀试验设计

均匀设计是只考虑试验点在试验范围内均匀散布的一种试验设计方法。
均匀设计通过配套的均匀设计表和使用表来安排试验；当试验因素变化范围较大，需要取较多水平时，均匀设计可以极大减少试验次数。
对均匀试验所得的数据结果进行分析，可以判定所考察的因素中哪些是主要的，哪些是次要的，从而确定出最好的试验条件，得到最优方案。

优点：

1. 试验次数大大减少
2. 自动将各试验因素分类；自动将各试验因素分类为重要与次要，并将因素按重要性排序
3. 过程数字化；通过电脑对结果与因素条件进行界定与预报（如天气预报），进而控制各因素。