( 1 ) ∫ 1 + ∞ d x x 4 ； ( 2 ) ∫ 1 + ∞ d x x ； ( 3 ) ∫ 0 + ∞ e − a x d x ( a > 0 ) ； ( 4 ) ∫ 0 + ∞ d x ( 1 + x ) ( 1 + x 2 ) ； ( 5 ) ∫ 0 + ∞ e − p t s i n ω t d t ( p > 0 ， ω > 0 ) ； ( 6 ) ∫ − ∞ + ∞ d x x 2 + 2 x + 2 ； ( 7 ) ∫ 0 1 x d x 1 − x 2 ； ( 8 ) ∫ 0 2 d x ( 1 − x ) 2 ； ( 9 ) ∫ 1 2 x d x x − 1 ； ( 10 ) ∫ 1 e d x x 1 − ( l n x ) 2 (1) ∫+∞1dxx4； (2) ∫+∞1dx√x； (3) ∫+∞0e−axdx (a>0)； (4) ∫+∞0dx(1+x)(1+x2)； (5) ∫+∞0e−ptsin ωtdt (p>0，ω>0)； (6) ∫+∞−∞dxx2+2x+2； (7) ∫10xdx√1−x2； (8) ∫20dx(1−x)2； (9) ∫21xdx√x−1； (10) ∫e1dxx√1−(ln x)2 (1) ∫1+∞x4dx； (2) ∫1+∞xdx； (3) ∫0+∞e−axdx (a>0)； (4) ∫0+∞(1+x)(1+x2)dx； (5) ∫0+∞e−ptsin ωtdt (p>0，ω>0)； (6) ∫−∞+∞x2+2x+2dx； (7) ∫011−x2xdx； (8) ∫02(1−x)2dx； (9) ∫12x−1xdx； (10) ∫1ex1−(ln x)2dx
( 1 ) ∫ 1 + ∞ d x x 4 = [ − 1 3 x 3 ] 1 + ∞ = 1 3 ( 2 ) ∫ 1 t d x x = [ 2 x ] 1 t = 2 t − 2 ，当 t → + ∞ 时，极限不存在，所以，反常积分是发散的。 ( 3 ) ∫ 0 + ∞ e − a x d x = − 1 a ∫ 0 + ∞ e − a x d ( − a x ) = [ − 1 a e − a x ] 0 + ∞ = 1 a ( 4 ) ∫ 0 + ∞ d x ( 1 + x ) ( 1 + x 2 ) = 1 2 ∫ 0 + ∞ ( 1 1 + x + 1 − x 1 + x 2 ) d x = [ 1 4 l n ( 1 + x ) 2 1 + x 2 + 1 2 a r c t a n x ] 0 + ∞ = π 4 ( 5 ) ∫ e − p t s i n ω t d t = − 1 p ∫ s i n ω t d ( e − p t ) = − 1 p e − p t s i n ω t + ω p ∫ e − p t c o s ω t d t = − 1 p e − p t s i n ω t − ω p 2 ∫ c o s ω t d ( e − p t ) = − 1 p e − p t s i n ω t − ω p 2 e − p t c o s ω t − ω 2 p 2 ∫ e − p t s i n ω t d t ，得， ∫ e − p t s i n ω t d t = − p e − p t s i n ω t − ω e − p t c o s ω t p 2 + ω 2 + C ， 所以， ∫ 0 + ∞ e − p t s i n ω t d t = [ − p e − p t s i n ω t − ω e − p t c o s ω t p 2 + ω 2 ] 0 + ∞ = ω p 2 + ω 2 ( 6 ) ∫ − ∞ + ∞ d x x 2 + 2 x + 2 = ∫ − ∞ 0 1 ( x + 1 ) 2 + 1 d ( x + 1 ) + ∫ 0 + ∞ 1 ( x + 1 ) 2 + 1 d ( x + 1 ) = [ a r c t a n ( x + 1 ) ] − ∞ 0 + [ a r c t a n ( x + 1 ) ] 0 + ∞ = π ( 7 ) ∫ 0 1 x d x 1 − x 2 = [ − 1 − x 2 ] 0 1 = 1 ( 8 ) ∫ 0 t d x ( 1 − x ) 2 = [ 1 1 − x ] 0 t = 1 1 − t − 1 ，当 t → 1 时极限不存在，所以，反常积分发散。 ( 9 ) 令 u = x − 1 ，则 x = u 2 + 1 ， d x = 2 u d u ，得 ∫ 1 2 x d x x − 1 = 2 ∫ 0 1 ( u 2 + 1 ) d u = 8 3 ( 10 ) ∫ 1 e d x x 1 − ( l n x ) 2 = ∫ 1 e d ( l n x ) 1 − ( l n x ) 2 = [ a r c s i n l n x ] 1 e = π 2 (1) ∫+∞1dxx4=[−13x3]+∞1=13 (2) ∫t1dx√x=[2√x]t1=2√t−2，当t→+∞时，极限不存在，所以，反常积分是发散的。 (3) ∫+∞0e−axdx=−1a∫+∞0e−axd(−ax)=[−1ae−ax]+∞0=1a (4) ∫+∞0dx(1+x)(1+x2)=12∫+∞0(11+x+1−x1+x2)dx=[14ln(1+x)21+x2+12arctan x]+∞0=π4 (5) ∫e−ptsin ωtdt=−1p∫sin ωtd(e−pt)=−1pe−ptsin ωt+ωp∫e−ptcos ωtdt= −1pe−ptsin ωt−ωp2∫cos ωtd(e−pt)=−1pe−ptsin ωt−ωp2e−ptcos ωt−ω2p2∫e−ptsin ωtdt，得， ∫e−ptsin ωtdt=−pe−ptsin ωt−ωe−ptcos ωtp2+ω2+C， 所以，∫+∞0e−ptsin ωtdt=[−pe−ptsin ωt−ωe−ptcos ωtp2+ω2]+∞0=ωp2+ω2 (6) ∫+∞−∞dxx2+2x+2=∫0−∞1(x+1)2+1d(x+1)+∫+∞01(x+1)2+1d(x+1)= [arctan(x+1)]0−∞+[arctan(x+1)]+∞0=π (7) ∫10xdx√1−x2=[−√1−x2]10=1 (8) ∫t0dx(1−x)2=[11−x]t0=11−t−1，当t→1时极限不存在，所以，反常积分发散。 (9) 令u=√x−1，则x=u2+1，dx=2udu，得∫21xdx√x−1=2∫10(u2+1)du=83 (10) ∫e1dxx√1−(ln x)2=∫e1d(ln x)√1−(ln x)2=[arcsin ln x]e1=π2 (1) ∫1+∞x4dx=[−3x31]1+∞=31 (2) ∫1txdx=[2x]1t=2t−2，当t→+∞时，极限不存在，所以，反常积分是发散的。 (3) ∫0+∞e−axdx=−a1∫0+∞e−axd(−ax)=[−a1e−ax]0+∞=a1 (4) ∫0+∞(1+x)(1+x2)dx=21∫0+∞(1+x1+1+x21−x)dx=[41ln1+x2(1+x)2+21arctan x]0+∞=4π (5) ∫e−ptsin ωtdt=−p1∫sin ωtd(e−pt)=−p1e−ptsin ωt+pω∫e−ptcos ωtdt= −p1e−ptsin ωt−p2ω∫cos ωtd(e−pt)=−p1e−ptsin ωt−p2ωe−ptcos ωt−p2ω2∫e−ptsin ωtdt，得， ∫e−ptsin ωtdt=p2+ω2−pe−ptsin ωt−ωe−ptcos ωt+C， 所以，∫0+∞e−ptsin ωtdt=[p2+ω2−pe−ptsin ωt−ωe−ptcos ωt]0+∞=p2+ω2ω (6) ∫−∞+∞x2+2x+2dx=∫−∞0(x+1)2+11d(x+1)+∫0+∞(x+1)2+11d(x+1)= [arctan(x+1)]−∞0+[arctan(x+1)]0+∞=π (7) ∫011−x2xdx=[−1−x2]01=1 (8) ∫0t(1−x)2dx=[1−x1]0t=1−t1−1，当t→1时极限不存在，所以，反常积分发散。 (9) 令u=x−1，则x=u2+1，dx=2udu，得∫12x−1xdx=2∫01(u2+1)du=38 (10) ∫1ex1−(ln x)2dx=∫1e1−(ln x)2d(ln x)=[arcsin ln x]1e=2π
∫ d x x ( l n x ) k = ∫ 1 ( l n x ) k d ( l n x ) = { l n l n x + C ， k = 1 ， − 1 ( k − 1 ) l n k − 1 x + C ， k ≠ 1 ， ， 当 k ≤ 1 时，反常积分发散；当 k > 1 时，反常积分收敛 . ∫ 2 + ∞ d x x ( l n x ) k = [ − 1 ( k − 1 ) l n k − 1 x ] 2 + ∞ = 1 ( k − 1 ) ( l n 2 ) k − 1 ，记 f ( k ) = 1 ( k − 1 ) ( l n 2 ) k − 1 ， f ′ ( k ) = − 1 ( k − 1 ) 2 ( l n 2 ) 2 k − 2 [ ( l n 2 ) k − 1 + ( k − 1 ) ( l n 2 ) k − 1 l n l n 2 ] = − 1 + ( k − 1 ) l n l n 2 ( k − 1 ) 2 ( l n 2 ) k − 1 令 f ′ ( k ) = 0 ，得 k = 1 − 1 l n l n 2 ，当 1 < k < 1 − 1 l n l n 2 时， f ′ ( k ) < 0 ，当 k > 1 − 1 l n l n 2 时， f ′ ( k ) > 0 ， 所以 k = 1 − 1 l n l n 2 是 f ( k ) 的最小值点 ∫dxx(ln x)k=∫1(ln x)kd(ln x)={ln ln x+C， k=1，−1(k−1)lnk−1x+C，k≠1，， 当k≤1时，反常积分发散；当k>1时，反常积分收敛. ∫+∞2dxx(ln x)k=[−1(k−1)lnk−1x]+∞2=1(k−1)(ln 2)k−1，记f(k)=1(k−1)(ln 2)k−1， f′(k)=−1(k−1)2(ln 2)2k−2[(ln 2)k−1+(k−1)(ln 2)k−1ln ln 2]=−1+(k−1)ln ln 2(k−1)2(ln 2)k−1 令f′(k)=0，得k=1−1ln ln 2，当1<k<1−1ln ln 2时，f′(k)<0，当k>1−1ln ln 2时，f′(k)>0， 所以k=1−1ln ln 2是f(k)的最小值点 ∫x(ln x)kdx=∫(ln x)k1d(ln x)=⎩ ⎨ ⎧ln ln x+C， k=1，−(k−1)lnk−1x1+C，k=1，， 当k≤1时，反常积分发散；当k>1时，反常积分收敛. ∫2+∞x(ln x)kdx=[−(k−1)lnk−1x1]2+∞=(k−1)(ln 2)k−11，记f(k)=(k−1)(ln 2)k−11， f′(k)=−(k−1)2(ln 2)2k−21[(ln 2)k−1+(k−1)(ln 2)k−1ln ln 2]=−(k−1)2(ln 2)k−11+(k−1)ln ln 2 令f′(k)=0，得k=1−ln ln 21，当1<k<1−ln ln 21时，f′(k)<0，当k>1−ln ln 21时，f′(k)>0， 所以k=1−ln ln 21是f(k)的最小值点
当 n = 0 时， I 0 = ∫ 0 + ∞ e − x d x = − ∫ 0 + ∞ e − x d ( − x ) = [ − e − x ] 0 + ∞ = 1 当 n ≥ 1 时， I n = ∫ 0 + ∞ x n e − x d x = − ∫ 0 + ∞ x n d ( e − x ) = − [ x n e − x ] 0 + ∞ + n ∫ 0 + ∞ x n − 1 e − x d x = n I n − 1 ， 所以， I n = n ! 当n=0时，I0=∫+∞0e−xdx=−∫+∞0e−xd(−x)=[−e−x]+∞0=1 当n≥1时，In=∫+∞0xne−xdx=−∫+∞0xnd(e−x)=−[xne−x]+∞0+n∫+∞0xn−1e−xdx=nIn−1， 所以，In=n! 当n=0时，I0=∫0+∞e−xdx=−∫0+∞e−xd(−x)=[−e−x]0+∞=1 当n≥1时，In=∫0+∞xne−xdx=−∫0+∞xnd(e−x)=−[xne−x]0+∞+n∫0+∞xn−1e−xdx=nIn−1， 所以，In=n!
∫ l n x d x = x l n x − ∫ x ⋅ 1 x d x = x l n x − x + C ，所以， ∫ 0 1 l n x d x = [ x l n x − x ] 0 1 = − 1 − lim x → 0 + ( x l n x − x ) = − 1 ∫ln xdx=xln x−∫x⋅1xdx=xln x−x+C，所以， ∫10ln xdx=[xln x−x]10=−1−limx→0+(xln x−x)=−1 ∫ln xdx=xln x−∫x⋅x1dx=xln x−x+C，所以， ∫01ln xdx=[xln x−x]01=−1−x→0+lim(xln x−x)=−1