312.戳气球

有 n 个气球，编号为0 到 n - 1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。

现在要求你戳破所有的气球。戳破第 i 个气球，你可以获得 nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1] 枚硬币。 这里的 i - 1 和 i + 1 代表和 i 相邻的两个气球的序号。如果 i - 1或 i + 1 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 1 的气球。

求所能获得硬币的最大数量。

示例 1：
输入：nums = [3,1,5,8]
输出：167
解释：
nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
coins =  3*1*5    +   3*5*8   +  1*3*8  + 1*8*1 = 167
示例 2：

输入：nums = [1,5]
输出：10

思路：动态规划

 dp数组定义：dp[ i ][ j ]表示戳破 ( i , j ) 之间的所有气球，所能获得的最大硬币数

状态转移过程：dp[ i ][ k ] + dp[ k ][ j ] + points[ i ] * points[ j ] * points[ k ]

 dp数组的遍历方式：

要求dp[i][j]需要dp[i][k]和dp[k][j]，即图中的斜线部分

base case确定了图中所有为0的部分

 所以遍历应该是从下到上，从左到右的

class Solution {
public:
    int maxCoins(vector<int>& nums) {
        int n=nums.size();
        vector<int> points(n+2,0);//添加两侧的虚拟气球
        points[0]=1;
        points[n+1]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            points[i]=nums[i-1];
        }
        //dp数组定义：dp[i][j]表示戳破(i,j)之间的所有气球，所能获得的最大硬币数
        vectorint>> dp(n+2,vector<int>(n+2,0));
        for(int i=0;i<=n+1;i++)//base case：(i,i)和(i,i+1)之间都没有气球，硬币数为0
        {
            dp[i][i]=0;
            if(i+12)
                dp[i][i+1]=0;
        }
        for(int i=n-1;i>=0;i--)
        {
            for(int j=i+2;j<=n+1;j++)
            {
                int maxCoin=INT_MIN;
                for(int k=i+1;k
                {
                    //dp[i][j]的上一个状态是戳破(i,j)之间的最后一个气球
                    //(i,j)之间的任意一个气球都可以当最后一个气球
                    //要求最大硬币数，所以遍历(i,j)之间的每一个气球，取返回硬币数最大的那个
                    maxCoin=max(maxCoin,dp[i][k]+dp[k][j]+points[i]*points[j]*points[k]);
                }
                dp[i][j]=maxCoin;
            }
        }
        return dp[0][n+1];
    }
};