第二章 矩阵

2.1 概念，运算

2.1.1 概念

矩阵，n阶矩阵，n阶方阵，零矩阵，同型矩阵（行数与列数分别相等），矩阵相等。

2.1.2 运算

1. 加法：对应位置相加。要求矩阵同型。
2. 数乘：全部位置乘数。
3. 乘法：对应相加的A行乘B列 。要求A列数= B行数。
4. 幂次：A的k次幂（乘k次自己）。要求A是n阶方阵。

2.1.3 运算法则

• 加法：满足交换律和结合律
• 乘法：满足结合律，分配律。但是不满足交换律。
• 数乘矩阵：满足结合律和分配律。
• 转置（行列互换）：这个需要特别注意下。

$$(A+B{)}^T=A^T+B^T$$
$$(kA{)}^T=k{A}^T$$
$$(AB{)}^T=B^T{A}^T$$
$$(A^T{)}^T=A$$

特例

• 对角线矩阵相乘，直接乘对角线上面的元素。
• n维列向量 × n维行向量 = n阶矩阵
• n维行向量 × n维列向量 = 1*1矩阵

疑问点

• 线性代数n维行向量乘n维列向量结果为什么说是一个数 ? 为什么不是一个一行一列的矩阵?
  • 百度回答：矩阵是一个数表,只不过矩阵的运算给这个数表赋予了各种实际的意义.比如代表方程组的系数,表达向量间的线形关系等等.那么他既然本质就是个数表,他们各项分别相乘相加 最后就得到一个数啦 那么1*1的矩阵当然就是一个数。
  • 还有知乎上的一个回答：向量点积
    

2.2 伴随矩阵，可逆矩阵（非奇异矩阵）

2.2.1 伴随矩阵

伴随矩阵：矩阵A对应行列式|A|的所有代数余子式构成的矩阵A*

注意：伴随矩阵第一行第二个的值 是 去除了第二行第一个的值的代数余子式。

相关公式：
$$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$$

$$(A^{\ast }{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\ast }=\frac{A}{|A|}$$

$$(kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }$$

$$(A^{\ast }{)}^T=(A^T{)}^{\ast }$$

$$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$$

$$(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A(n>=2)$$

秩：
r ( A ∗ ) = { n ， r ( A ) = n 1 ， r ( A ) = n − 1 0 ， r ( A ) < n − 1 r(A^*) = \left\{

\right. r(A∗)=⎩⎨⎧​n，r(A)=n1，r(A)=n−10，r(A)<n−1​

技巧
二阶矩阵的求法口诀：主对角线元素互换，副对角线元素加负号。

2.2.2 可逆矩阵

若AB = BA = E，则称A是可逆矩阵或非奇异矩阵。

定理：

1. 若A可逆，则 A的逆矩阵唯一（证明：加单位矩阵，再变形）
2. A可逆 <=> |A|!=0
3. AB均为n阶且AB = E，则BA = E （可逆）

求逆方法：

1. 定义法：AB=E

2. 用伴随关系：(适用2，3阶)
   $$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$$

3. 初等行变换(A|E)：右侧加一个等阶的单位矩阵，化简左侧的矩阵到单位矩阵，右侧的矩阵就是逆矩阵了。

   

4. 分块对角线矩阵：左下角和右上角若为0矩阵，则可以令对角线上的矩阵分别求逆。

2.3 初等变换，初等矩阵

2.3.1 概念

• 初等变换：初等行变换 + 初等列变换

  • 初等行变换：倍乘，互换，倍加
  • 初等列变换：等价，同上。

• 初等矩阵：单位矩阵 经过 一次 初等变换 所得到的矩阵

  • 倍乘初等矩阵：E(i(k))
  • 互换初等矩阵： E(i,j)
  • 倍加初等矩阵：E(ij(k))

• 行阶梯矩阵：A-m×n，满足：（看起来像阶梯）

  • 零行在最底下
  • 非零行的主元的列指标随行指标递增而严格增大。

• 行最简矩阵：

  • 满足行阶梯
  • 主元都是1 且 主元所在的列其他元素都是0.

• 矩阵等价，A经过有限次初等变换得到矩阵B，A等价于B.

  • 充要条件：秩相等（r(A) = r(B)）

2.3.2 重要结论

• 初等矩阵的转置仍是初等矩阵。

• 初等矩阵 均是可逆矩阵，逆矩阵也是初等矩阵。

  • 互换行的逆矩阵是它自己
    $$E(i,j{)}^{-1}=E(i,j)$$

  • 倍乘的逆矩阵是它的倒数
    $$E(i(k){)}^{-}1=E(i(\frac{1}{k}))$$

  • 倍乘的逆矩阵改成倍乘相反数
    $$E(ij(k){)}^{-1}=E(ij(-k))$$

• 初等矩阵P左乘矩阵A，其乘积PA，就是矩阵A作一次与P相同的行变换。

• 初等矩阵P右乘矩阵A，其乘积AP，就是矩阵A做一次与P相同的列变换。

2.4 分块矩阵

2.4.1 运算法则

• 分块矩阵的乘法：同正常矩阵的乘法。

  

• 分块矩阵的转置：大矩阵的转置+小矩阵的转置。
  

• 分块矩阵的n次方：
  

• 分块矩阵的逆：正对角线同上，负对角线需要调换AB的位置。
  

2.4.2 解题技巧

解题技巧1
遇到矩阵乘法，矩阵的幂，矩阵的逆都可以考虑。

解题技巧2
遇到方程组求解，可以考虑按列分块，遇到向量组的秩或按行分块后，转换成向量，秩的关系求解。

• 若AB = C，则C的行向量可以由B的行向量线性表出。

• 若给出AX = B，求X：

  • 若A可逆，可以通过左乘一个A的逆。
  • 若A不可逆，可以通过构造X的列向量，重新求小块变量。

2.5 方阵的行列式

主要用于抽象n阶方阵行列式的计算

$$1.转置矩阵的行列式不变：|A^T|=|A|$$

$$2.数乘矩阵的行列式，是原行列式的n次方倍：|kA|=k^n|A|$$

$$3.两矩阵相乘的行列式：|AB|=|A|||B|$$

$$3.推论：|A^2|=|A{|}^2$$

$$4.逆矩阵的行列式关系：|A^{-1}|=|A{|}^{-1}$$

$$5.伴随矩阵的行列式关系：|A^{\ast }|=||A|A^{-1}|=|A{|}^{n-1}$$

6. 分块矩阵相乘：

   

7. 特征根的公式：若A和B相似，则|A| = |B|

2.6 相关错题

好像都和秩有关，不知道后面会不会理解一点。

已 知 A = [ 2 − 1 3 4 − 2 6 − 2 1 − 3 ] , 求 A 10 已知A = \left[

\right] ,求A^{10} 已知A=⎣⎡​24−2​−1−21​36−3​⎦⎤​,求A10

看到第一行和第三行等比例误以为是行列式直接等0了😭

解析：
$$r(A)=1=>A^2=lA,其中l=\sum a_{ii}$$

$$所以，A^n=l^{n-1}A$$

$$A^{10}=(2+(-2)+(-3){)}^{9}A$$

2.7 补充

2.7.1 特征值和不同矩阵的对应关系

2.7.2 通法：求解矩阵的逆（二三阶）