洛谷-P7910 [CSP-J 2021]-插入排序（详细讲解）

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题目提供者             CCF_NOI

难度                           普及-

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题目描述

插入排序是一种非常常见且简单的排序算法。小 Z 是一名大一的新生，今天 H 老师刚刚在上课的时候讲了插入排序算法。

假设比较两个元素的时间为 \mathcal O(1)O(1)，则插入排序可以以 \mathcal O(n^2)O(n2) 的时间复杂度完成长度为 nn 的数组的排序。不妨假设这 nn 个数字分别存储在 a_1, a_2, \ldots, a_na1​,a2​,…,an​ 之中，则如下伪代码给出了插入排序算法的一种最简单的实现方式：

这下面是 C/C++ 的示范代码：

for (int i = 1; i <= n; i++)
	for (int j = i; j >= 2; j--)
		if (a[j] < a[j-1]) {
			int t = a[j-1];
			a[j-1] = a[j];
			a[j] = t;
		}

这下面是 Pascal 的示范代码：

for i:=1 to n do
	for j:=i downto 2 do
		if a[j]-1] then
			begin
				t:=a[i];
				a[i]:=a[j];
				a[j]:=t;
			end;

为了帮助小 Z 更好的理解插入排序，小 Z 的老师 H 老师留下了这么一道家庭作业：

H 老师给了一个长度为 nn 的数组 aa，数组下标从 11 开始，并且数组中的所有元素均为非负整数。小 Z 需要支持在数组 aa 上的 QQ 次操作，操作共两种，参数分别如下：

1~x~v1 x v：这是第一种操作，会将 aa 的第 xx 个元素，也就是 a_xax​ 的值，修改为 vv。保证 1 \le x \le n1≤x≤n，1 \le v \le 10^91≤v≤109。注意这种操作会改变数组的元素，修改得到的数组会被保留，也会影响后续的操作。

2~x2 x：这是第二种操作，假设 H 老师按照上面的伪代码对 aa 数组进行排序，你需要告诉 H 老师原来 aa 的第 xx 个元素，也就是 a_xax​，在排序后的新数组所处的位置。保证 1 \le x \le n1≤x≤n。注意这种操作不会改变数组的元素，排序后的数组不会被保留，也不会影响后续的操作。

H 老师不喜欢过多的修改，所以他保证类型 11 的操作次数不超过 50005000。

小 Z 没有学过计算机竞赛，因此小 Z 并不会做这道题。他找到了你来帮助他解决这个问题。

输入格式

第一行，包含两个正整数 n, Qn,Q，表示数组长度和操作次数。

第二行，包含 nn 个空格分隔的非负整数，其中第 ii 个非负整数表示 a_iai​。

接下来 QQ 行，每行 2 \sim 32∼3 个正整数，表示一次操作，操作格式见【题目描述】。

输出格式

对于每一次类型为 22 的询问，输出一行一个正整数表示答案。

输出格式

对于每一次类型为 22 的询问，输出一行一个正整数表示答案。

输入输出样例

输入 #1

3 4
3 2 1
2 3
1 3 2
2 2
2 3

输出 #1

1
1
2

说明/提示

【样例解释 #1】

在修改操作之前，假设 H 老师进行了一次插入排序，则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 3, 2, 13,2,1。

在修改操作之后，假设 H 老师进行了一次插入排序，则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 3, 1, 23,1,2。

注意虽然此时 a_2 = a_3a2​=a3​，但是我们不能将其视为相同的元素。

附件下载

sort.zip19.25KB

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讲解

定义

首先我们要定义一个结构体数组，有两个元素，分别是需要存储的量和它的序号，用来存储在排序前他们分别占的位置，必须定义！数组的长度应是8000，因为n的值最大是8000，我们多开五个空间。

struct node
{
    int num,id;//数组里的值原和序号
}a[8005];

还需要定义一个b数组，用来存放他们排序后的序号，b应是一个一维数组。

int b[8005];

输入

输入的时候应该边输入并计算它的序号，序号就是循环的i。

for(i=1;i<=n;i++)//输入元素
{
    cin>>a[i].num;
    a[i].id=i;//计算标号
}

初始化

操作二需要把a数组进行排序，可操作二的次数不确定，会超时，所以我们应该把排序的任务放在操作一之后以及输入之后。

所干的事情应该是把a数组的元素进行排序，可以用sort函数，（详细使用方法见文章讲解C++中的sort(快速排序函数)），并且把a数组的下标存入b数组里。

sort(a+1,a+1+n,cmp);//排序
for(i=1;i<=n;i++)
b[a[i].id]=i;//将a数组的序号顺序存入b数组

进行操作

首先进行q次循环，可以用while。

每次循环，先输入操作类型，然后判断操作类型是一还是二。

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操作一

输入x和v先进行修改的任务，只需将原来a数组的第x个元素改v，再重新进行排序，再把存好的a数组的下标存起来，但排序a数组时不能再使用sort函数了，因为这样会超时，那么应该怎么优化呢，不难看出，a数组的元素中，只有一个修改的数是乱的，其余的数排序都是升序排好的，所以我们可以使用两个for循环，一个正着遍历一遍，另一个反着遍历一遍，如果这个数字比前面一个数小，则反着遍历的for可以把它存到适当的位置；反之，如果这个数字比后一个数还要大，则正序遍历的for可以把它存到适当的位置。而这两个for是顺序关系，时间复杂度只有2n，远比sort要快的多。

cin>>x>>v;
a[b[x]].num=v;//改变数组的元素
for(i=1;i<=n-1;i++)
if(cmp(a[i],a[i+1])==0)
swap(a[i],a[i+1]);//向后排序
for(i=n;i>=2;i--)
if(cmp(a[i-1],a[i])==0)
swap(a[i-1],a[i]);//向前排序
for(i=1;i<=n;i++)
b[a[i].id]=i;//对下标重新排序

操作二

如果是操作二的话，只需要输出b数组里的下标就行了。

cin>>x;//序号为x的数排序后在哪里
cout<//输出

最终代码+注释

#include
using namespace std;
struct node
{
    int num,id;//数组里的值原和序号
}a[8005];
bool cmp(node a,node b)//排序规则
{
    if(a.num==b.num)//值相同
    return a.id//根据序号升序排
    return a.num//值不相同按序号升序排
}
int main()
{
    int b[8005],n,q,i;
    cin>>n>>q;//输入几个数和几次操作
    for(i=1;i<=n;i++)//输入元素
    {
        cin>>a[i].num;
        a[i].id=i;//计算标号
    }
    sort(a+1,a+1+n,cmp);//排序
    for(i=1;i<=n;i++)
    b[a[i].id]=i;//将a数组的序号顺序存入b数组
    while(q--)//进行q次操作
    {
        int s,x,v;
        cin>>s;//第几种操作
        if(s==1)//操作一
        {
            cin>>x>>v;
            a[b[x]].num=v;//改变数组的元素
            for(i=1;i<=n-1;i++)
            if(cmp(a[i],a[i+1])==0)
			swap(a[i],a[i+1]);//向后排序
			for(i=n;i>=2;i--)
            if(cmp(a[i-1],a[i])==0)
			swap(a[i-1],a[i]);//向前排序
 
            for(i=1;i<=n;i++)
            b[a[i].id]=i;//对下标重新排序
        }
        else//操作二
        {
            cin>>x;//序号为x的数排序后在哪里
            cout<//输出
        }
    }
    return 0;
}

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