算法设计与分析之算法绪论

• 学习目标
  • 设计高效的算法
  • 分析算法的性能
  • 在分析与交互中验证算法
• 参考书：算法导论

1、算法定义

• 算法定义：给定计算问题，算法是一系列良定义的计算步骤，逐一执行计算步骤即可得到预期的输出。
  • 计算问题：给定数据输入，计算满足某种性质输出问题
• 算法的性质
  • 有穷性：算法必须在有限个计算步骤后终止。
  • 确定性：算法必须是没有歧义的。
  • 可行性：可以机械的一步一步执行基本的操作步骤。

2、算法的表示

• 自然语言
  • 优势：以近于人的思维，易于理解主旨
• 编程语言
  • 优势：精准表达逻辑，规避表述歧义
  • 不便之处：不同的编程语言间语法存在差异，过于关注算法实现的细枝末节
• 伪代码
  • 非正式语言
    • 移植编程语言书写形式作为基础和框架
    • 按照接近自然语言的形式表达算法过程
  • 兼顾自然语言与编程语言优势
    • 简洁表达算法本质，不拘泥于实现细节
    • 准确反映算法过程，不产生矛盾和歧义

3、算法分析

• 算法分析的原则

  • 统一机器性能
  • 分析最坏情况

• 机器的运算速度影响算法的执行时间

  • 归纳基本操作
  • 统一机器性能

• 相同的输入规模，实例影响运行

  • 例：插入排序（升序排序）最好情况：数组升序，最坏情况：数组降序
    

• 算法分析的工具

  • 渐近分析：忽略$T(n)$的系数与低阶项，仅关注高阶项，用记号$\theta$表示
    
  • 渐近记号
    
  • 渐近紧确界
    
  • 渐近上界
    
  • 渐近下界
    

4、例子

• 插入排序与选择排序
  • 伪代码及时间复杂度分析
    
• 代码实现

# 插入排序：将数组a分为有序和无序的两个部分。前者在左边，后者在右边。开始有序的部分只有a[0]，其余都属于无序的部分。
# 每次取出无序部分的第一个(最左边)元素，把它加入有序部分。假设插入合适的位置p，则原p位置及其后面的有序元素都向右移动一个位置，
# 有序部分增加一个元素。一直做下去，直到无序部分没有元素
def insert_sort(l):
    for i in range(len(l) - 1):
        key = l[i+1]  # 无序部分第一个值
        index = i
        while index >= 0 and l[index] > key:
            l[index+1] = l[index]
            index -= 1
        l[index + 1] = key
    return l

# 选择排序：每次从待排序列中选出一个最小值
def select_sort(l):
    for i in range(len(l)):
        for j in range(i+1, len(l)):
            if l[i] > l[j]:
                temp = l[i]
                l[i] = l[j]
                l[j] = temp
    return l
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