f
1
(
x
)
∗
f
2
(
x
)
=
∫
−
∞
+
∞
f
1
(
x
−
ξ
)
f
2
(
ξ
)
d
ξ
=
∫
−
∞
+
∞
f
1
(
ξ
)
f
2
(
x
−
ξ
)
d
ξ
f_1(x)*f_2(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x-\xi)f_2(\xi)d\xi = \int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\xi)f_2(x-\xi)d\xi
f1(x)∗f2(x)=∫−∞+∞f1(x−ξ)f2(ξ)dξ=∫−∞+∞f1(ξ)f2(x−ξ)dξ
f
1
(
t
)
∗
f
2
(
t
)
=
∫
0
t
f
1
(
t
−
τ
)
f
2
(
τ
)
d
τ
=
∫
0
t
f
1
(
τ
)
f
2
(
t
−
τ
)
d
τ
f_1(t)*f_2(t)=\int_{0}^{t}f_1(t-\tau)f_2(\tau)d\tau = \int_{0}^{t}f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau
f1(t)∗f2(t)=∫0tf1(t−τ)f2(τ)dτ=∫0tf1(τ)f2(t−τ)dτ
Fourier变换
定义: 函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)是分段光滑, 且在
(
−
∞
,
+
∞
)
(-\infty,+\infty)
(−∞,+∞)内绝对可积(
∫
−
∞
+
∞
∣
f
(
x
)
∣
d
x
<
+
∞
\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|dx<+\infty
∫−∞+∞∣f(x)∣dx<+∞), Fourier变换:
F
[
f
(
x
)
]
(
w
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
i
w
x
d
x
F[f(x)](w)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{iwx}dx
F[f(x)](w)=∫−∞∞f(x)eiwxdx
逆变换
F
−
1
[
g
(
w
)
]
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
g
(
w
)
e
i
w
x
d
w
F^{-1}[g(w)](x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}g(w)e^{iwx}dw
F−1[g(w)](x)=2π1∫−∞∞g(w)eiwxdw
性质
线性性质
F
[
α
f
1
(
x
)
+
β
f
2
(
x
)
]
(
w
)
=
α
F
[
f
1
(
x
)
]
(
w
)
+
β
F
[
f
2
(
x
)
]
(
w
)
F[\alpha f_1(x)+\beta f_2(x)](w)=\alpha F[f_1(x)](w)+\beta F[f_2(x)](w)
F[αf1(x)+βf2(x)](w)=αF[f1(x)](w)+βF[f2(x)](w)
卷积定理
F
[
f
1
(
x
)
∗
f
2
(
x
)
]
(
w
)
=
F
[
f
1
(
x
)
]
(
w
)
⋅
F
[
f
2
(
x
)
]
(
w
)
F[f_1(x)*f_2(x)](w)=F[f_1(x)](w)\cdot F[f_2(x)](w)
F[f1(x)∗f2(x)](w)=F[f1(x)](w)⋅F[f2(x)](w)
微分性质
F
[
f
(
n
)
(
x
)
]
(
w
)
=
(
i
w
)
n
F
[
f
(
x
)
]
(
w
)
F[f^{(n)}(x)](w)=(iw)^nF[f(x)](w)
F[f(n)(x)](w)=(iw)nF[f(x)](w)
积分性质
F
[
∫
−
∞
x
f
(
ξ
)
d
ξ
]
=
1
i
w
F
[
f
(
x
)
]
F[\int_{-\infty}^xf(\xi)d\xi]=\frac{1}{iw}F[f(x)]
F[∫−∞xf(ξ)dξ]=iw1F[f(x)]
t
→
+
∞
t\rightarrow+\infty
t→+∞时, 存在常数
M
>
0
,
S
0
>
0
M>0, S_0>0
M>0,S0>0 (
S
0
S_0
S0为
f
(
t
)
f(t)
f(t)的增长指数)
∣
f
(
t
)
∣
≤
M
e
S
0
t
,
(
0
<
t
<
+
∞
)
|f(t)|\leq Me^{S_0t}, (0∣f(t)∣≤MeS0t,(0<t<+∞)
f
(
t
)
的
f(t)的
f(t)的Laplace变换:
L
[
f
(
t
)
]
(
p
)
=
∫
0
+
∞
f
(
t
)
e
−
p
t
d
t
L[f(t)](p)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-pt}dt
L[f(t)](p)=∫0+∞f(t)e−ptdt
逆变换
f
(
t
)
=
1
2
π
i
∫
β
−
i
∞
β
+
i
∞
g
(
p
)
e
p
t
d
p
f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\beta-i\infty}^{\beta+i\infty}g(p)e^{pt}dp
f(t)=2πi1∫β−i∞β+i∞g(p)eptdp
性质
线性性质
L
[
α
f
1
(
t
)
+
β
f
2
(
t
)
]
(
p
)
=
α
L
[
f
1
(
t
)
]
(
p
)
+
β
L
[
f
2
(
t
)
]
(
p
)
L[\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)](p)=\alpha L[f_1(t)](p)+\beta L[f_2(t)](p)
L[αf1(t)+βf2(t)](p)=αL[f1(t)](p)+βL[f2(t)](p)
卷积定理
L
[
f
1
(
t
)
∗
f
2
(
t
)
]
=
L
[
f
1
(
t
)
]
⋅
L
[
f
2
(
t
)
]
L[f_1(t)*f_2(t)]=L[f_1(t)]\cdot L[f_2(t)]
L[f1(t)∗f2(t)]=L[f1(t)]⋅L[f2(t)]
微分性质
L
[
f
′
(
t
)
]
(
p
)
=
p
L
[
f
(
t
)
]
(
p
)
−
f
(
0
)
L[f'(t)](p)=pL[f(t)](p)-f(0)
L[f′(t)](p)=pL[f(t)](p)−f(0)
L
[
f
′
′
(
t
)
]
(
p
)
=
p
2
L
[
f
(
t
)
]
(
p
)
−
p
f
(
0
)
−
f
′
(
0
)
L[f''(t)](p)=p^2L[f(t)](p)-pf(0)-f'(0)
L[f′′(t)](p)=p2L[f(t)](p)−pf(0)−f′(0)
积分性质
L
[
∫
0
t
f
(
τ
)
d
τ
]
=
1
p
L
[
f
(
t
)
]
L[\int_0^tf(\tau)d\tau]=\frac{1}{p}L[f(t)]
L[∫0tf(τ)dτ]=p1L[f(t)]