根据国际标准IEEE 754(电气和电子工程协会),任意一个二进制浮点数 v 可以表示成下面的形式:
(-1) ^ S * M * 2 ^ E
(-1) ^ s 表示符号位,当s = 0 , v 为正数,s = 1 , v 为负数
M 表示有效数字,大于等于1 , 小于2
2 ^ E 表示指数位
举例来说:十进制的5.0,写成二进制是101.0,相当于 1.01× 2^2,那么按照上面v的格式,可以得出s = 0, M = 1.01, E = 2
十进制的5.0写成二进制就是101.0,相当于-101×2^2,那么s=1,M = 1.01,E = 2
IEEEE 754规定:对于32位的浮点数,最高的1位是符号位s,接着的8位是指数E,剩下的23位为有效数字M
IEEE 754对有效数字M和指数E,还有一些特别规定。前面说过,1<= M <= 2,也就是说,M 可以写成 1.xxxxxx 的形式,其中 xxxxxx 表示小时部分
IEEEE 754 规定,在计算机内部保存 M 时,默认这个数的第一位总是 1 ,因此可以被社区,只保存后面的 xxxxxx 部分。比如保存 1.01 的时候,只保存 01 ,等到读取的时候,再把第一位的 1 加上去。这样做的目的,是节省 1 位有效数字。以 32 位浮点数为例,留给 M 只有 23 位,将第一位的 1 舍去以后,等于可以保存 24 位有效数字
至于指数 E,情况比较复杂
首先,E 为一个无符号整数(unsigned int)这意味着,如果 E 为 8 位,他的取值为 0~255 ,如果 E 为 11 位,它的取值范围为 0~2047 。但是我们知道,科学计数法中的 E 是可以出现负数的,所以 IEEE 754 规定,存入内存时 E 的真实值必须再加上一个中间数,对于 8 位的 E ,这个中间数是 127 ,对于 11 位的 E ,这个中间数是 1023 。比如, 2^10 的 E 是 10 ,所以保存成 23 位浮点数时,必须保存成 10 + 127 = 137 ,即 10001001
情况一:E 不为 全0 或不为 全1
这时,浮点数就采用下面的规则表示,即指数 E 的计算值减去 127(或 1023 ),得到真实值,再将有效数字 M 前加上第一位的 1,比如 0.5 (1/2),由于规定正数部分必须为 1。即将小数点右移 1位,则为 1.0 ^ 2 ^ (-1),具阶码 -1 + 127 = 126.表示为 01111110,而尾数 1.0 去掉整数部分为 0,补齐到 23位 00000000000000000000000 则其二进制的表示形式为
0 01111110 00000000000000
情况二:E全为0
这时,浮点数的指数E等于 1 - 127(或者1 - 1023)即为真实值,有效数字M不再加上第一位的1,而是还原为0.xxxxxx的小数,这样做是为了表示x0,以及接近于 0 的很小的数字
给大家举个例子就明白了:
s = 0;E = 00000000; M = 01100000000000000000000
这时候 s = 0;E = 1 - 127; M = 0.011
就等于 0.011 * 2^-126 就是一个无限接近于0的数字
情况三:E全为0E全为1
这时,如果有效数字M全为0,表示+-无穷大(正负取决于符号位s)