本文主要简单介绍固定翼飞机的数学建模的一般形式与原理，读者姥爷们可以跟着在草稿纸上手动推导一次，理解会更加深刻！

1. 固定翼飞机的飞行原理

一般地，多旋翼飞机的飞行原理简单而易懂：通过机身装备的螺旋桨的转动产生升力，进而获得$z$轴上的上下垂直移动。通过调整某个/某几个螺旋桨的转速，就能够实现俯仰、滚转、偏航的姿态调整。从力学基础角度看，螺旋桨同时增大/降低转速可以实现多旋翼的上升/下降，不同螺旋桨之间的转速差引起的转矩则能够实现姿态机动。

另一方面，由于多旋翼的控制通道往往是解耦的，因而其飞控算法容易实现，调参难度低，控制律设计也相对容易，经常作为专业相关学生的入门接触对象。

与旋翼机相比，固定翼飞机历史悠久，飞行难度高，飞行条件苛刻，力学方程更加复杂，控制律更难设计。其飞行以流体力学为基础，通过飞行过程中机翼上下表面的压差提供升力，因而“无速度就无升力”。固定翼的俯仰、滚转、偏航均通过机翼和尾翼的舵面来控制。

同时，固定翼飞机的数学模型往往相互耦合，难以设计控制律，且实际工业中往往通过控制左/右副翼、水平稳定翼、垂直稳定翼、方向舵、升降舵、推力等等参数以达到控制的目的，因而工业上固定翼飞机的控制律设计更加复杂。

本文以简化后的固定翼数学建模为基础，在牛顿–欧拉方程基础上建立固定翼的数学模型。

2. 姿态角设置

根据目前最默认的设置，滚转、俯仰、偏航分别为欧拉角$\phi$、$\theta$、$\psi$（机体坐标系），而在地球坐标系下，三个通道的速度分别表示为$p$、$q$、$r$。二者之间通过坐标系转换矩阵进行转换：
[ p q r ] = R e b [ φ ˙ θ ˙ ψ ˙ ] = [ 1 0 − sin ⁡ θ 0 cos ⁡ φ sin ⁡ φ cos ⁡ θ 0 − sin ⁡ φ cos ⁡ φ cos ⁡ θ ] [ φ ˙ θ ˙ ψ ˙ ] \left[

\right] = R_e^b \left[ \right] = \left[ \right] \left[ \right] ⎣ ⎡​pqr​⎦ ⎤​=Reb​⎣ ⎡​φ˙​θ˙ψ˙​​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​100​0cosφ−sinφ​−sinθsinφcosθcosφcosθ​⎦ ⎤​⎣ ⎡​φ˙​θ˙ψ˙​​⎦ ⎤​

3. 牛顿–欧拉方程

牛顿–欧拉方程如下：
$${\dot{\Omega }}^b={\left(J^b\right)}^{-1}\left(M^b-{\Omega }^b\times \left(J^b\cdot {\Omega }^b\right)\right)\text{\hspace{1em}(1)}$$其中 Ω = [ p q r ] T \Omega = \left[

\right]^T Ω=[p​q​r​]T为姿态角矩阵，$J^b$为机体坐标系下固定翼的转动惯量矩阵：
J b = [ J x 0 J x z 0 J y 0 J z x 0 J z ] (2) J^b = \left[

Jx0Jxz0Jy0Jzx0Jz" role="presentation" style="position: relative;">Jx0Jzx0Jy0Jxz0Jz$$\begin{array}{ccc}{J}_x& 0& J_{xz}\\ 0& J_y& 0\\ J_{zx}& 0& J_z\end{array}$$

\right] \tag{2} Jb=⎣ ⎡​Jx​0Jzx​​0Jy​0​Jxz​0Jz​​⎦ ⎤​(2)而$M^b$为外力在俯仰、滚转、偏航三通道上的力矩：
M b = [ q ˉ S b E L q ˉ S c ˉ E M q ˉ S b E N ] (3) M^b = \left[

q¯SbELq¯Sc¯EMq¯SbEN" role="presentation" style="position: relative;">q¯SbELq¯Sc¯EMq¯SbEN$$\begin{array}{c}\overline{q}Sb{E}_L\\ \overline{q}S\overline{c}{E}_M\\ \overline{q}Sb{E}_N\end{array}$$

\right] \tag{3} Mb=⎣ ⎡​qˉ​SbEL​qˉ​ScˉEM​qˉ​SbEN​​⎦ ⎤​(3)其中$\bar{q}=\frac{1}{2}\rho V_T^2$为空气动压，$b$为翼展，$\bar{c}$为机翼平均弦长；$E_M,E_L,E_N$分别为滚转、俯仰、偏航力矩系数，各自表达式如下：
E L = C L ˉ β ⋅ β + C L δ r ⋅ δ r + C L δ a ⋅ δ a + C L p ˉ ( p b 2 V T ) + C L r ˉ ( r b 2 V T ) E M = C M 0 + C M α ⋅ α + C M δ e ⋅ δ e + C M α ˙ ( α ˙ c ˉ 2 V T ) + C M q ˉ ( q c ˉ 2 V T ) E N = C N β ⋅ β + C N δ a ⋅ δ a + C N δ r ⋅ δ r + C N p ˉ ( p b 2 V T ) + C N r ˉ ( r b 2 V T ) (4)

EL=CL¯β⋅β+CLδr⋅δr+CLδa⋅δa+CLp¯(pb2VT)+CLr¯(rb2VT)EM=CM0+CMα⋅α+CMδe⋅δe+CMα˙(α˙c¯2VT)+CMq¯(qc¯2VT)EN=CNβ⋅β+CNδa⋅δa+CNδr⋅δr+CNp¯(pb2VT)+CNr¯(rb2VT)" role="presentation" style="position: relative;">ELEMEN=CL¯β⋅β+CLδr⋅δr+CLδa⋅δa+CLp¯(pb2VT)+CLr¯(rb2VT)=CM0+CMα⋅α+CMδe⋅δe+CMα˙(α˙c¯2VT)+CMq¯(qc¯2VT)=CNβ⋅β+CNδa⋅δa+CNδr⋅δr+CNp¯(pb2VT)+CNr¯(rb2VT)$$\begin{array}{rl}{E}_L& =C_{\overline{L}\beta }\cdot \beta +C_{L{\delta }_r}\cdot {\delta }_r+C_{L{\delta }_a}\cdot {\delta }_a+C_{L\overline{p}}\left(\frac{pb}{2V_T}\right)+C_{L\overline{r}}\left(\frac{rb}{2V_T}\right)\\ E_M& =C_{M_0}+C_{M\alpha }\cdot \alpha +C_{M{\delta }_e}\cdot {\delta }_e+C_{M\dot{\alpha }}\left(\frac{\dot{\alpha }\overline{c}}{2V_T}\right)+C_{M\overline{q}}\left(\frac{q\overline{c}}{2V_T}\right)\\ E_N& =C_{N\beta }\cdot \beta +C_{N{\delta }_a}\cdot {\delta }_a+C_{N{\delta }_r}\cdot {\delta }_r+C_{N\overline{p}}\left(\frac{pb}{2V_T}\right)+C_{N\overline{r}}\left(\frac{rb}{2V_T}\right)\end{array}$$

\tag{4} EL​EM​EN​​=CLˉβ​⋅β+CLδr​​⋅δr​+CLδa​​⋅δa​+CLpˉ​​(2VT​pb​)+CLrˉ​(2VT​rb​)=CM0​​+CMα​⋅α+CMδe​​⋅δe​+CMα˙​(2VT​α˙cˉ​)+CMqˉ​​(2VT​qcˉ​)=CNβ​⋅β+CNδa​​⋅δa​+CNδr​​⋅δr​+CNpˉ​​(2VT​pb​)+CNrˉ​(2VT​rb​)​(4)其中${\delta }_r,{\delta }_a,{\delta }_e$分别为尾翼方向舵、左右副翼、尾翼升降舵的控制量。

将(1)(2)(3)(4)联立，(1)式可以化为
Ω ˙ b = ( J b ) − 1 ( M b − Ω b × ( J b ⋅ Ω b ) ) ⟹ [ p ˙ q ˙ r ˙ ] = Λ [ q ˉ S b E L − J z x p q − J z q r + J y q r q ˉ S c ˉ E M − J x p r − J x z r 2 + J z x p 2 + J z p r q ˉ S b E N − J y p q + J x p q + J x z q r ] (5) \dot \Omega^b = \left( J^b \right) ^ {-1} \left( M^b - \Omega^b \times \left( J^b \cdot \Omega^b \right) \right) \Longrightarrow \\ \left[

\right] = \Lambda \left[ \right] \tag{5} Ω˙b=(Jb)−1(Mb−Ωb×(Jb⋅Ωb))⟹⎣ ⎡​p˙​q˙​r˙​⎦ ⎤​=Λ⎣ ⎡​qˉ​SbEL​−Jzx​pq−Jz​qr+Jy​qrqˉ​ScˉEM​−Jx​pr−Jxz​r2+Jzx​p2+Jz​prqˉ​SbEN​−Jy​pq+Jx​pq+Jxz​qr​⎦ ⎤​(5)其中 Λ = ( J b ) − 1 = [ J z J x J z − J x z J z x 0 J x z J x z J z x − J x J z 0 1 J y 0 J z x J x z J z x − J x J z 0 J x J x J z − J x z J z x ] \Lambda = \left( J^b \right) ^{-1} = \left[

JzJxJz−JxzJzx0JxzJxzJzx−JxJz01Jy0JzxJxzJzx−JxJz0JxJxJz−JxzJzx" role="presentation" style="position: relative;">JzJxJz−JxzJzx0JzxJxzJzx−JxJz01Jy0JxzJxzJzx−JxJz0JxJxJz−JxzJzx$$\begin{array}{ccc}\frac{J_z}{J_x{J}_z-J_{xz}{J}_{zx}}& 0& \frac{J_{xz}}{J_{xz}{J}_{zx}-J_x{J}_z}\\ 0& \frac{1}{J_y}& 0\\ \frac{J_{zx}}{J_{xz}{J}_{zx}-J_x{J}_z}& 0& \frac{J_x}{J_x{J}_z-J_{xz}{J}_{zx}}\end{array}$$

\right] Λ=(Jb)−1=⎣ ⎡​Jx​Jz​−Jxz​Jzx​Jz​​0Jxz​Jzx​−Jx​Jz​Jzx​​​0Jy​1​0​Jxz​Jzx​−Jx​Jz​Jxz​​0Jx​Jz​−Jxz​Jzx​Jx​​​⎦ ⎤​另一方面，由于$E_L,E_M,E_N$表达式显含控制量${\delta }_i$，因而(5)式还可以简化为
{ p ˙ = f 1 ( δ r , δ a , p , q , r ) q ˙ = f 2 ( δ e , p , q , r ) r ˙ = f 3 ( δ r , δ a , p , q , r ) (6)

{p˙=f1(δr,δa,p,q,r)q˙=f2(δe,p,q,r)r˙=f3(δr,δa,p,q,r)" role="presentation" style="position: relative;">⎧⎩⎨p˙=f1(δr,δa,p,q,r)q˙=f2(δe,p,q,r)r˙=f3(δr,δa,p,q,r)$$\{\begin{array}{l}\dot{p}=f_1\left({\delta }_r,{\delta }_a,p,q,r\right)\\ \dot{q}=f_2\left({\delta }_e,p,q,r\right)\\ \dot{r}=f_3\left({\delta }_r,{\delta }_a,p,q,r\right)\end{array}$$

\tag{6} ⎩ ⎨ ⎧​p˙​=f1​(δr​,δa​,p,q,r)q˙​=f2​(δe​,p,q,r)r˙=f3​(δr​,δa​,p,q,r)​(6)

4. 备注

本文只对固定翼的姿态角做出了数学建模，对于其位移、气流角等的进一步探讨将在后续给出。
下一节将会给出固定翼姿态角的控制算法与实例。