【洛谷P2258】子矩阵【DFS+DP】

题目描述

给出如下定义：

1. 子矩阵： 从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序） 被称为原矩阵的一个子矩阵。例如，下面左图中选取第 2、 4 行和第 2、 4、 5 列交叉位置的元素得到一个 2*3 的子矩阵如右图所示。

2. 相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。
3. 矩阵的分值： 矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。

本题任务：给定一个 n 行 m 列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个 r 行 c 列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。

输入

第一行包含用空格隔开的四个整数 n，m，r，c，意义如问题中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。
接下来的 n 行， 每行包含 m 个用空格隔开的整数，用来表示问题中那个 n 行 m 列的矩阵。

输出

输出共 1 行，包含 1 个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。

数据范围限制

对于 100%的数据， 1 ≤m ≤ 16 , 1 ≤ n≤ 16 , 矩阵中的每个元素 1 ≤ a [i , j] ≤1000,1 ≤ r<=n ,1<=c<=m .

分析

两年之后做这道题，依然收获很多。

之前的思路：
边搜索边dp枚举选那些行 然后算出每列之间的分数w 两列之间的分数v
就可以开始dp了 f[i][j]表示已经选了i列 最后一列是j的最小分数

但是这次有点不太一样的理解，由于子矩阵的定义，直接枚举肯定超时，所以就考虑行和列枚举其中一个，然后另一个跑DP。具体怎么枚举呢，这里的枚举用搜索实现，可以得出所有行或者列的组合，这次我就枚举了列的组合。然后知道了列，就可以处理处横着合并（每一行）的分值，然后再求出任意两行合并的分值，就可以开始DP了。

设 $f[i][j]$表示已经选了 $i$ 行 最后一行是 $j$ 的最小分数，枚举一个k，表示上一行选的是第k行，k的范围显然是$[i-1,j-1]$ ，所以有转移方程：$f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][k]+hb[k][j]+line[j]);$ 表示要加上行之间合并的分值和该行的分值。

不难发现，枚举列，按行DP，枚举行，按列DP都可以得出答案，恰好就是我之前和现在两种不同的做法。

上代码

code#1：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;

int m,n,ans=2147483647,x,y,r,c,ff[101][101],f[101],a[101][101],v[101][101],b[101];

void dp()
{
	memset(ff,0,sizeof(ff));
	memset(v,0,sizeof(v));
	memset(f,0,sizeof(f));
	b[r+1]=b[r];
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		for(int j=1;j<=r;j++)
		{
			f[i]+=abs(a[b[j]][i]-a[b[j+1]][i]);//处理列 
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		for(int j=i+1;j<=m;j++)
		{
			for(int k=1;k<=r;k++)
			{
				v[i][j]+=abs(a[b[k]][i]-a[b[k]][j]);
			}
		}
	} 
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		ff[1][i]=f[i];
	}
	for(int i=2;i<=c;i++)
	{
		for(int j=i;j<=m;j++)
		{
			int t=2147483647;
			for(int k=i-1;k<=j-1;k++)
			{
				t=min(t,ff[i-1][k]+v[k][j]);
			}
			ff[i][j]=t+f[j];
		}
	}
	for(int i=c;i<=m;i++)
	{
		ans=min(ans,ff[c][i]);
	}
} 
void dfs(int x)
{
	if(y==r)
	{
		dp();
		return;
	}
	for(int i=x+1;i<=n;i++)
	{
		y++;
		b[y]=i;
		dfs(i);//递归 
		y--;
	}
}
int main()
{
    cin>>n>>m>>r>>c;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	for(int j=1;j<=m;j++)
    	{
    		cin>>a[i][j];
		}
	}
	dfs(0);
	cout<<ans;
    return 0;
}
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code #2（new）：

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

int n,m,r,c,y,a[20][20],f[20][20],ans=0x3f3f3f3f;
int col[20],line[20],hb[20][20];

int DP()
{
	memset(line,0,sizeof(line));
	memset(hb,0,sizeof(hb));
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	/*---------处理每行的差值------------*/
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=y-1;j++)
			line[i]+=abs(a[i][col[j]]-a[i][col[j+1]]);
	/*--------处理合并每行的代价---------*/ 
	for(int i=1;i<=n-1;i++)
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			for(int k=1;k<=c;k++)
				hb[i][j]+=abs(a[i][col[k]]-a[j][col[k]]);
	/*-------DP转移，k是上一行在哪-------*/			
	for(int i=1;i<=n;i++) f[1][i]=line[i];
	for(int i=2;i<=r;i++)
		for(int j=i;j<=n;j++)
			for(int k=i-1;k<=j-1;k++)
				f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][k]+hb[k][j]+line[j]);
				
	int s=0x3f3f3f3f;
	for(int i=r;i<=n;i++) s=min(s,f[r][i]);
	return s;
}

void dfs(int x)
{
	if(y==c)
	{
		ans=min(ans,DP());
		return;
	}
	for(int i=x+1;i<=m;i++)
	{
		y++;
		col[y]=i;
		dfs(i);
		y--;
	}
}

int main()
{
	cin>>n>>m>>r>>c;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			scanf("%d",&a[i][j]);
	dfs(0);
	cout<<ans;
	return 0;
 } 
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