【线性代数】行列式和矩阵

一、行列式

1.1 行列式性质

• $|AB|=|A||B|$
• 行列互换其值不变，$|A^T|=|A|$
• $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}(由A{A}^{\ast }=|A|E推导而来)$
• 行列式可拆分：某行\列元素是两个元素之和，可拆为两个行列式之和

行列式基本变换

• 行列式行或列互换，其值不变
• 行列式中某行或某列有公因子k，可以提到行列式之外
  • 推论：行列式某行、列为0，行列式为0
• 行列式中某行或列的k倍加到另一行或列，行列式的值不变
• 行列式中的两行或两列对应成比例，行列式值为零
  
  

1.2 余子式

余子式和代数余子式

行列式按照行列展开的展开公式

$|A|=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+...+a_{in}{A}_{in}$

一、行列式求解

1.用行列式

2.用矩阵

当$|A|\ne 0$的时候，有$A\ast =|A|A^{-1}$
由于A^*是由A_ij构成的，所以得出A^*就可以得出所有的A_ij

3.用特征值

设A为三阶可逆矩阵，其特征值分别为${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$，则A^-1的特征值为${\lambda }_1^{-1},{\lambda }_2^{-1},{\lambda }_3^{-1}$
由$A\ast =|A|A^{-1}$可知，
${\lambda }_1^{\ast }={\lambda }_2\cdot {\lambda }_3$
${\lambda }_2^{\ast }={\lambda }_1\cdot {\lambda }_3$,
${\lambda }_3^{\ast }={\lambda }_1\cdot {\lambda }_2$

1.3 行列式计算

一、具体形行列式

(1)直接运算

1.行\列和相等类型

行列和相等的矩阵，一般处理方法是将其他行或列依次加到第一行或列，此时第一行或列上的元素相等。
当行列和相等矩阵中的a元素位于副对角线时，应该依次对换各行或者各列。

2.爪形、异爪形行列式

1. 消去其中的一条爪
2. 直接计算

(2)化为12+1个基本行列式

1. 主副对角线行列式

副对角线：$(-1{)}^{\frac{a(a-1)}{2}}{a}_{1,n}{a}_{2,n-1}{a}_{3,n-2}...a_{1,n}$

2. 拉普拉斯展开式

注意副对角拉普拉斯需要加上系数(-1)^nm
TIPS：对于分块矩阵的行列式的运算，为主对角线相乘加上(-1)^nm的副对角线

3. 范德蒙行列式

TIPS:

1. 具体形行列式计算时，应该化出尽量多的0
2. 没有0则对差别最小的元素进行处理

(3)加边法

某些一开始不适用互换、倍乘、倍加的行列式，可以考虑使用加边法：将n阶行列式添加一行和一列升至n+1阶行列式

(4)递推法

递推法主要是用于处理一般方法处理不了的异爪型行列式
递推法主要是找出D_n和D_n-1的递推关系式，实现递推，所需条件是：1.D_n比D_n-1只多一阶 2.元素分布规律相同
Tip：

• 在进行消去的时候，应该尽量使得数行或数列都为0。在进行运算时应该选择差别最小的两行进行操作。在行列和相等的题目中最常见

(5)数学归纳法

二、抽象行列式

上述的思想十分重要，将方程矩阵化是线性代数很多题目的求解核心。如果出现了多个约束方程，则可以使用方程组矩阵化

二、矩阵

2.1 概念

穿脱原则:
$(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$, $(AB{)}^T=B^T{A}^T$, $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

矩阵等价

如果存在矩阵A、B使得$PAQ=B$，则称两个矩阵等价
性质：
反身性、传递性、等价性
|A|=k|B|
r(A)=r(B)

2.2 矩阵运算

1.基本运算

相等、加法、数乘
A是一个阶方阵，则A^m=AAA…A为A的m次幂

转置矩阵

运算规律：

• $(A^T{)}^T=A$
• $(kA{)}^T=k{A}^T$
• $(A+B{)}^T=A^T+B^T$
• 如果是方阵，$|A^T|=|A|$

几种重要矩阵

• 对称矩阵：A^T=A的矩阵称为对称矩阵，A^T=-A的矩阵称为A的反对称矩阵
• 满足A^TA=E(A^T=A^-1)的为正交矩阵，此时A的行或列向量组是标准正交向量组
• 分块矩阵

2.矩阵乘法

• 结合律(AB)C=A(BC)：比如$A^{T}B{A}^{T}B{A}^{T}B=A^T(B{A}^{T}B{A}^T)B$
• 分配律A(B+C)=AB+AC
• $r(AB)\le min(r(A),r(B))$

矩阵乘法没有交换律，也就是$AB\ne BA$
推广1：由上述可知，存在$A\ne O$并且$B\ne O$但是$AB=O$的情况
推广2：$(AB{)}^3=ABABAB\ne A^3{B}^3$
推广3：$AB=AC⟹A(B-C)=O$, 在$A\ne O$的情况下无法推导出$B=C$
推广4：$A^2-B^2\ne (A-B)(A+B)$

3.向量内积和正交

内积：向量$\alpha$和$\beta$的内积为${\alpha }^T\beta =a_1{b}_1+a_2{b}_2+...+a_n{b}_n$记作$(\alpha ,\beta )$
正交:${\alpha }^T\beta =0$的时候，向量$\alpha$和$\beta$正交
模：$||\alpha ||=\sqrt{a_i^2}$，若$||\alpha ||$称$\alpha$为单位向量

4.施密特正交化（又称正交规范化过程）

将线性无关向量组${\alpha }_1，{\alpha }_2$的标准正交化公式为:
$${\beta }_1={\alpha }_1$$ $${\beta }_2={\alpha }_2-\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1$$
将${\beta }_1,{\beta }_2$单位化得${\eta }_1=\frac{{\beta }_1}{||{\beta }_1||}$,${\eta }_2=\frac{{\beta }_2}{||{\beta }_2||}$

TIPS：

• 对于抽象向量组，需要考虑将向量组矩阵化求解

2.3 矩阵的逆

1.逆矩阵定义

定义：如果AB=BA=E，则称A是可逆矩阵，并且B是A的逆矩阵，逆矩阵是唯一的，记作A^-1

A可逆的充分必要条件是$|A|\ne 0$
并且A可逆的时候有$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$

2.逆矩阵的性质和公式

1. $(A^{-1}{)}^{-1}=A$
2. $(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}$
3. $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
4. 若A^T可逆，则$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$
5. $|A^{-1}|=|A{|}^{-1}$

3.逆矩阵的计算

抽象形：

1. 找到矩阵B使得AB=E，则A^-1=B
2. 将A分解为若干个可逆矩阵的乘积，$A=BC\to A^{-1}=C^{-1}{B}^{-1}$

具体形：

1. $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$(适用于规模位于3阶及以下的矩阵)
2. 使用初等行变换求矩阵的逆矩阵，即$[A|E]\to [E|A^{-1}]$

分块矩阵求逆：

这是根据$[A|E]\to [E|A^{-1}]$结合方程组推导出来的，$-C^{-1}D{B}^{-1}$可以记作为左乘同行，右乘同列，然后取反

n阶对角\副对角矩阵求逆

2.4 伴随矩阵

需要注意的是，伴随矩阵内代数余子式A_ij的位置是在j行i列而非i行j列

性质和重要公式

对任意n阶方阵A都有伴随矩阵A^*，有$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$并且$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$
当$|A|\ne 0$的时候，有

• $A^{\ast }=|A|A^{-1}\iff A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }\iff A=|A|(A^{\ast }{)}^{-1}$
• $(kA)(kA{)}^{\ast }=|kA|E$，此处的kA可替换为A^-1、A^*
• $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$，可递推为$(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A$，并且有$|(A^{\ast }{)}^{\ast }|=|A{|}^{(n-1{)}^2}$
• A^*的秩相关
• $(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$

2.5 初等变换和初等矩阵

1.行列式初等变换和矩阵初等变换的异同

1. 行列式两行/列互换，行列式值反号；矩阵两行/列互换，矩阵不变
2. 行列式值乘以k倍，相当于行列式的某行/列乘以k倍；n阶矩阵乘以k倍，相当于矩阵中每一行乘k倍
3. 行列式和矩阵的某行/列加上k倍的另外一行/列，行列式和矩阵都不变

2.初等矩阵性质

1. 初等矩阵的转置仍是初等矩阵
2. 初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵仍然是同一类型初等矩阵
3. 如果A是可逆矩阵，则A可以表示成有限个初等矩阵的乘积

3.判断正交以及矩阵正交化

TIPS：
若干个初等矩阵相乘，可凑成一个可逆矩阵

2.6 秩

1.定义

2.公式

• A是m x n矩阵，则$0\le r(A)\le min(m,n)$

• $r(kA)=r(A)$

• P和Q是可逆矩阵，则$r(A)=r(PA)=r(PAQ)$，也就是A作初等变换不改变秩的值。同理可知，r(AB)

• $r(AB)\le min(r(A),r(B))$

• $r(A+B)\le ([A|B])\le r(A)+r(B)$
  

• 设A为m x n矩阵，AB=O，则$r(A)+r(B)\le n$

• 设A为m x n矩阵，$r(A)=r(A^T)=r(A{A}^T)=r(A^{T}A)$(四秩相同)
  
  根据上述推导可得出，设A为n阶方阵
  n=2时，$(A^{\ast }{)}^{\ast }=A$
  n>2时，如果A是可逆矩阵，则$(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A$
  n>2时，如果A是不可逆矩阵，则$(A^{\ast }{)}^{\ast }=O$

• A为n阶方阵，A²=A，可得r(A)+r(A+E)=n

• A为n阶方阵，A²=E则$r(A+E)+r(A-E)=n$

• 三秩相等：A的秩=A的行秩=A的列秩

3.考法

用阶梯型

将矩阵化为阶梯型矩阵

2.7 矩阵相关题型

1.$A^n$的题目类型

(1) A是方阵

若A可拆分为$\alpha {\beta }^T$，则r(A)=1，这种情况下，有：
$$A^n=\alpha ({\beta }^T\alpha )({\beta }^T\alpha )....({\beta }^T\alpha ){\beta }^T=[tr(A){]}^{n-1}\ast A$$

(2)使用$A^2,A^3$推算出规律

最典型的两种情况是A²=kA或者A²=kE，
注意：矩阵的行列基本变换可能会破坏该规律，因此拿到题后，最好先不要进行行列基本变换

(3)A分解为B和C

(4)用初等矩阵求P₁ⁿAP₂^m

如果P₁和P₂是初等矩阵，则P₁ⁿAP₂^m表示对A作n次P₁的初等行变换和m次P₂的初等列变换

(5)用相似理论求Aⁿ(重点)

如果$AB$，也就是A=P^-1BP，则Aⁿ=P^-1BⁿP，
如果$A\sim \lambda$，则$A_n=P_{-1}{\Lambda }_{n}P$

在题目要求的矩阵A的n次方无法直接求解的时候，使用求特征值和特征向量，求出其相似矩阵，使用相似矩阵代替A来求n阶矩阵

2.矩阵方程

矩阵方程式含有未知矩阵的方程

基本化简手段

1. 消除\提取公因式
2. 移项
3. 使用公式

求解

1.通过左右同乘分解为$X=A^{-1}B，X=B{A}^{-1}，X=A^{-1}CB$
2.如果A不可逆，比如AX=B，可以将X和B按列分块，转化为求线性方程组
3.如果上面都不行，则应该设未知矩阵$X=(x_{ij})$，直接代入方程到含未知量为x_ij的线性方程组，从而求的X