根据《高等数学》第七版同济大学下册书中第十一章，曲线积分与曲面积分第六节高斯公式，通量与散度中的定义：
设空间闭区域
Ω
\Omega
Ω是由分片光滑的闭曲面
∑
\sum
∑所围成，若函数
P
(
x
,
y
,
z
)
P\left(x, y, z\right)
P(x,y,z)，
Q
(
x
,
y
,
z
)
Q\left(x, y, z\right)
Q(x,y,z)，
R
(
x
,
y
,
z
)
R\left(x, y, z\right)
R(x,y,z)在
Ω
\Omega
Ω上具有一阶连续偏导数，则有
∭
Ω
(
∂
P
∂
x
+
∂
Q
∂
y
+
∂
R
∂
z
)
=
∮
∑
P
d
y
d
z
+
Q
d
x
d
z
+
R
d
x
d
y
(1)
\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial{P}}{\partial{x}}+\frac{\partial{Q}}{\partial{y}}+\frac{\partial{R}}{\partial{z}}\right) = \oint_{\sum}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathrm{d}x\mathrm{d}z + R\mathrm{d}x\mathrm{d}y \tag{1}
∭Ω(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)=∮∑Pdydz+Qdxdz+Rdxdy(1)
该公式的数学证明过程很复杂，这里不做过多说明，而且这个公式看起来也十分复杂，如何去形象的理解它就成了比较重要的事情。我们可以看到这个公式的左侧是一个体积积分，右侧是一个面积积分，也就是说，高斯公式实际上是将体积积分与面积积分联系起来的一个公式。下面我们来赋予式中各项相应的物理意义。尝试从流体力学的角度来理解这一公式。
我们假设曲面
∑
\sum
∑包裹着一部分流体。
P
P
P：沿着yz平面的闭曲面内的包裹流体的流速。
Q
Q
Q：沿着xz平面的闭曲面内的包裹流体的流速。
R
R
R：沿着xy平面的闭曲面内的包裹流体的流速。
如果考虑上单位时间，那么等式
(
1
)
\left(1\right)
(1)的右侧我们可以理解为，是闭曲面
∑
\sum
∑所围成的整个立体封闭式体积空间内向外的流量。
进一步我们讨论等式的左侧，我们可以看到，等式的左侧表达式中的积分核可以写为：
∂
P
∂
x
+
∂
Q
∂
y
+
∂
R
∂
z
=
(
∂
∂
x
,
∂
∂
y
,
∂
∂
z
)
⋅
(
P
,
Q
,
R
)
=
∇
(
P
,
Q
,
R
)
\frac{\partial{P}}{\partial{x}}+\frac{\partial{Q}}{\partial{y}}+\frac{\partial{R}}{\partial{z}}=\left(\frac{\partial{}}{\partial{x}},\frac{\partial{}}{\partial{y}}, \frac{\partial{}}{\partial{z}}\right)\cdot\left(P, Q,R\right)=\nabla \left(P, Q,R\right)
∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R=(∂x∂,∂y∂,∂z∂)⋅(P,Q,R)=∇(P,Q,R)
我们可以看到，左侧的积分核部分实际上是一个关于
(
P
,
Q
,
R
)
\left(P, Q,R\right)
(P,Q,R)的散度运算。根据散度表示的意义：对一个无限小的微团，内部通过微团的边界向外界释放、流出的流量。
如果我们想象此时曲面 ∑ \sum ∑围成的立体空间是一个水池，那么该高斯公式表示的是—通过进水口流进水池的水，等于通过水池边界漏出去的水。
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