【排序算法】快速排序（C语言）

【排序算法】—— 快速排序

一、快速排序的单趟排序

​ 快速排序的单趟排序是以一个数作为基准值，实现将数组中比基准数小的数放在基准值的左侧，比基准值大的数放在基准值的右侧。

​ 我们共有3种实现方法。

1. 霍尔法

​ 霍尔是最初发现快速排序的人，它使用的单趟排序算法被称为霍尔法。

​ 用key标记基准值的下标(这里是数组第一个元素下标)，利用两个指针left和right分别指向待排数组的最左侧和最右侧，right指针找比key基准值小的数，left找比key基准值大的数，找到后将两个数交换位置，同时实现大数右移和小数左移，直到left与right相遇则排序完成，此时将key基准值的下标返回给函数调用者就完成了单趟排序。

1. left记录左下标，从左向右遍历，right记录右下标，从右向左遍历，以第一个数作为基准值key

2. right先出发，寻找比key小的值，若是找到则停下来

3. 然后left再出发，寻找比key大的值，若是找到则停下来，与right的值进行交换

4. 接着right寻找比key小的值，找到后left找比key大的值，直到left遇到right，此时left和right指向同一个数

5. 将left与right指向的数与key进行交换，则单趟排序就完成了，最后将基准值的下标返回给函数调用者

如何保证相遇位置比key小：因为right先走

1. right停下时，left与right相遇，由于right找比key小的值，所以此时right的位置一定比key小
2. left停下时，right与left进行交换，交换后left指向的值比key小，此时right遇到left的位置一定比key小

代码实现

int PartSort(int* arr, int left, int right)
{
    int key = left;		//使用key保存基准值下标
    while (left < right)
    {
        while (left < right && arr[key] <= arr[right])	//只找小的，等于要过滤，找前判断right有没有走过
        {
            right--;
        }
        
        while (left < right && arr[key] >= arr[left])
        {
            left++;
        }
        
        if (left < right)	//没有相遇时左右交换
        {
            Swap(&arr[left], &arr[right]);
        }
    }
    
    Swap(&arr[key], &arr[left]);	//交换基准值和相遇位置的值，并返回基准值的下标
    return left;
}
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2. 挖坑法

​ 挖坑法是将key基准值用变量单独保存，然后将key的位置空出来形成一个坑，left和right指针分别从左右两端向中心遍历，此时left先指向这个坑，right找比key小的数，找到后将该数直接放进坑里，并将自己空出来的位置设置为坑，left找比key大的数，找到后将该数放进坑里，并将现在空出来的位置设置为坑，一直遍历，直到left与right相遇，相遇位置一定为坑(left和right必定有一个指向坑)，此时将key基准值放进坑内，并返回基准值下标完成单趟排序

1. 先定义变量key，存储数组第一个数作为key，此时left指向的位置就是坑

2. right开始找小，找到后停止，将right位置的数放进坑里，此时right位置作为新的坑

3. left继续行动，找到比key大的数停止，并将值放进坑里，此时left位置作为新坑

4. right接着找，依次循环，直到left与right相遇

5. 将key放入相遇时的坑里，排序完毕，将key值下标返回

代码实现

int PartSort(int* arr, int left, int right)
{
    int key = arr[left];
    int hole = left;
    
    while (left < right)
    {
        while (left < right && arr[right] >= key)
        {
            right--;
        }
        arr[hole] = arr[right];
        hole = right;
        
        while (left < right && arr[left] <= key)
        {
            left++;
        }
        arr[hole] = arr[left];
        hole = left;
    }
    
    arr[hole] = key;
    return hole;
}
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3. 前后指针

​ 将数组第一个元素作为key基准值，定义前指针prev指向第一个数，后指针cur指向第二个数，由cur挨个遍历数组中的数据，cur寻找比key基准值小的数，prev在cur找到小的数时才加一，并与cur位置交换数值，保证数组中较小的数在prev指针之前，而cur找到大的数时接着往前走，prev依然守着较小的数的末尾，依次类推直到cur完全遍历完数组，所以利用如此机制保证prev之前的值一定小于key基准值，而prev与cur之间的一定大于基准值(小的都被交换到prev处了)，最后将prev(小于基准值)处与key位置的数据交换，将基准值下标返回则完成单趟排序

1. 开始时prev指向第一个数，cur指向prev的下一位，此时cur位置的数比key基准值小，所以prev加一后与cur位置的数交换，由于此时prev+1 == cur，所以交换后没有变化

2. cur找到比key大的数，此时cur接着遍历，prev坚守本地

3. cur再次找到小的后，将prev右移一位，并与cur交换位置

4. 重复上述动作，直到遍历完整个数组

5. cur遍历完数组后，将prev与key交换数值，完成排序，并将key下标返回

代码实现

int PartSort(int* arr, int left, int right)
{
    int key = left;
    int prev = left;
    int cur = left + 1;
    
    while (cur <= right)
    {
        //arr[cur]小于基准值就交换
        if (arr[cur] <= arr[key] && ++prev != cur)	//这里做了优化：如果prev+1等于cur则不用交换，该语句顺便将prev加一
        {
            Swap(&arr[cur], &arr[prev]);
        }
        cur++;
    }
    
    Swap(&arr[key], &arr[prev]);
    return prev;
}
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二、快速排序

​ 快速排序是以一个数为基准，将数组分为两个子序列，左子序列放比基准数小的，右子序列放比基准数大的数，然后再将子序列以以上方式同样分割，直到数组有序

1. 排序步骤

1. 将下列数组以6为基准，将比6小的数放在数组右侧，比6大的数放在数组左侧，得到如下数组

2. 以6为分界线，将6以前的数据作为一个数组，以3为分界线，将比3小的数放在数组左边，比3大的数放在数组右边
3. 以6为分界线，将6以后的数据作为一个数组，以7为分界线，将比7小的数放在数组左边，比7大的数放在数组右边

4. 再继续重复上述操作，数组就排好顺序了

2. 排序完整步骤图

3. 快速排序代码

3.1 递归实现

​ 快速排序使用递归的方式调用单趟排序，每次调用后都以基准值为界，将数组分为2个子序列，继续排序

void QuickSort(int* arr, int begin, int end)
{
    if (begin >= end)
    {
        return;
    }
    
    int key = PartSort(arr, begin, end);	//单趟排序并获取基准值
    QuickSort(arr, begin, key-1);	//排左序列
    QuickSort(arr, key+1, end);		//排右序列
}
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3.2 非递归实现

​ 非递归要使用栈存储每一次分割后的数组下标区间，以数组下标区间传入单趟排序实现对递归思想的模拟，具体步骤看注释

​ 注意：栈的顺序是先进后出，获取区间以先右后左顺序时，就要以先左再右压栈

//栈的接口
void StackInit(Stack** pps);			 //初始化
void StackDestroy(Stack** pps);			 //销毁
void StackPush(Stack* ps, STDataType x);  //入栈
void StackPop(Stack* ps);				//出栈
STDataType StackTop(Stack* ps);			 //获取栈顶元素
_Bool StackEmpty(Stack* ps);			 //判空
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void QuickSort(int* arr, int begin, int end)
{
    //创建栈并压入数组区间
	Stack *ps = NULL;
    StackInit(&ps);
    StackPush(ps, begin);
    StackPush(ps, end);
    
    while (!StackEmpty(ps))
    {
        //从栈中获取左右区间
        int right = StackTop(ps);
        StackPop(ps);
        int left = StackTop(ps);
        StackPop(ps);
        
        //判断左右区间是否合理，若不合理则跳过本次循环
        if (left >= right)
        {
            continue;
        }
        
        //执行单趟排序并获取基准值下标
        int key = PartSort(arr, left, right);
        
        //将基准值分割的两个区间压入栈中
        StackPush(ps, left);
        StackPush(ps, key-1);
        
        StackPush(ps, key+1);
        StackPush(ps, right);
    }
    StackDestroy(&ps);
}
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三、选择基准数key

1. 为什么要选择基准数key

​ 在我们选择基准值时，都是以数组中第一个数作为基准值进行排序，这样写的好处是非常方便且易懂，但是也有个大问题。

​ 如果基准值是数组中最大或最小的数值，则快速排序的递归深度会非常深，排序效率会很低。若是一个有序数组使用快速排序，则递归深度为n，单趟排序也为n，时间复杂度为$O(n^2)$

基准数的选择有3种方法：

2. 随机选一个

​ 在数组中随机选择一个数作为基数，每次都选到最大或最小的概率很小，但是有概率会选到最大或最小值

#include 
#include 
int GetRandIndex(int* arr, int left, int right)
{
    srand((size_t)time(NULL));	//初始化随机种子
    return rand() % (right-left+1) +left;
}
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3. 选中间位置

​ 选取左右下标的中间下标为基准值，针对有序数组能达到最大效率，但是无序数组仍可能选到最大或最小值

int GetMidIndex(int* arr, int left, int right)
{
    return (left + right) / 2;
}
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4. 三值取中

​ 在left、right、和中间下标的值中选取一个折中值，基准值不可能为最大值或最小值

int GetMidIndex(int* arr, int left, int right)
{
    int mid = (left + right) / 2;
    
	if (arr[left] < arr[right])
	{
		if (arr[mid] < arr[left])
		{
			return left;
		}
		else if (arr[mid] <arr[right])
		{
			return mid;
		}
		else
		{
			return right;
		}
	}
	else
	{
		if (arr[mid] < arr[right])
		{
			return right;
		}
		else if (arr[mid] < arr[left])
		{
			return mid;
		}
		else
		{
			return left;
		}
	}
}
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​ 注意：在我们选择好基准值后，为了保证原来的单趟排序保持原有状态，我们会将选好的基准数与数组中第一个数交换位置，然后使用第一个数作为基准值排序

int PartSort(int* arr, int left, int right)
{
    //获取基准值，并与left交换位置
    int key = GetMidIndex(arr, left, right);
    Swap(&arr[key], &arr[left]);
    key = left;
    
    //单趟排序算法
    ...
}
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四、完整代码

1. 快速排序的完整代码

​ 这里是三值取中选择的基准值，挖坑法实现的单趟排序，和递归实现的快速排序，如果想使用其他方法，请自由组合（单趟排序之前别忘记交换基准数与第一个数的值）

//交换变量
void Swap(int* a, int* b)
{
    int temp = *a;
    *a = *b;
    *b = temp;
}

//三值取中
int GetMidIndex(int* arr, int left, int right)
{
    int mid = (left + right) / 2;
    
	if (arr[left] < arr[right])
	{
		if (arr[mid] < arr[left])
		{
			return left;
		}
		else if (arr[mid] <arr[right])
		{
			return mid;
		}
		else
		{
			return right;
		}
	}
	else
	{
		if (arr[mid] < arr[right])
		{
			return right;
		}
		else if (arr[mid] < arr[left])
		{
			return mid;
		}
		else
		{
			return left;
		}
	}
}

//挖坑法单趟排序
int PartSort(int* arr, int left, int right)
{
    //获取基准值，并与left交换位置
    int key = GetMidIndex(arr, left, right);
    Swap(&arr[key], &arr[left]);
    
    int key = arr[left];
    int hole = left;
    
    while (left < right)
    {
        while (left < right && arr[right] >= key)
        {
            right--;
        }
        arr[hole] = arr[right];
        hole = right;
        
        while (left < right && arr[left] <= key)
        {
            left++;
        }
        arr[hole] = arr[left];
        hole = left;
    }
    
    arr[hole] = key;
    return hole;
}

//快速排序递归实现
void QuickSort(int* arr, int begin, int end)
{
    if (begin >= end)
    {
        return;
    }
    
    int key = PartSort(arr, begin, end);	//单趟排序并获取基准值
    QuickSort(arr, begin, key-1);	//排左序列
    QuickSort(arr, key+1, end);		//排右序列
}
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2. 快速排序的优化

​ 快速排序时以递归形式（非递归也是用栈模拟递归方法）对分好大小的两个子序列进行单趟排序，若是递归到较深处时，待排数组较短，此时再使用递归方式对短数组进行快速排序就会导致效率下降，所以优化的方式就是设置一个数组排序的长度下限，若是数组长度到达下限以下，则不再调用快速排序，而是调用插入排序。

​ 为什么快速排序递归到深处时效率会下降

快速排序的递归类似于二叉树的形式，深度越深待排数组的长度越短，但是数量也越多，调用函数的次数就越多，开辟函数栈帧的消耗越大，导致效率下降

​ 为什么待排数组较短时调用的是插入排序

1. 冒泡排序、选择排序、插入排序的时间复杂度都是$O(n^2)$
   1. 冒泡排序每一次单趟排序都会执行n-1次，一共执行n-1次单趟排序，若是做出优化，单趟排序已经有序，则停止执行
   2. 选择排序每一次单趟排序都会执行n次，一共执行n/2次单趟排序，无论数组是否有序执行次数都不变
   3. 插入排序每一次单趟排序都只向前遍历到最大值之后，一共执行n次，若数组有序，则总共只执行n次，最差情况下每次都只是从i遍历到0下标，综合考虑是执行次数最优的
2. 希尔排序的时间复杂度是$O(nlo{g}_{2}n)$，但是对于越大的数组效率越高，数组越小效率越接近$O(n^2)$
3. 堆排序的时间复杂度也是$O(nlo{g}_{2}n)$，但是在数量很多且长度很短的数组下，建大量的堆显然不会让效率高出多少
4. 桶排序（基数排序）和归并排序暂时不考虑，我还没学

//快速排序递归的优化实现
void QuickSort(int* arr, int begin, int end)
{
    if (begin >= end)
    {
        return;
    }
    
    //数组长度小于等于8时，调用插入排序
    if (end-begin+1 <= 8)
    {
        InsertSort(arr, end-begin+1);
        return;
    }
    
    int key = PartSort(arr, begin, end);	//单趟排序并获取基准值
    QuickSort(arr, begin, key-1);	//排左序列
    QuickSort(arr, key+1, end);		//排右序列
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​ 需要优化后的完整代码将以上代码直接替换前面的快速排序代码，并将插入排序代码复制到快速排序代码之前

//插入排序
void InsertSort(int* arr, int size)
{
	int end = 0;
	int i = 0;
	for (i = 0; i < size-1; i++)
	{
		end = i;
		int temp = arr[end + 1];

		while (end >= 0)
		{
			if (temp < arr[end])
			{
				arr[end + 1] = arr[end];
				end--;
			}
			else
			{
				break;
			}
		}
		arr[end + 1] = temp;
	}
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