计算机组成原理——数的表示与计算

计算机组成原理归纳
1. 概述
 2. 数的表示与计算
 3. 存储器
 4. 指令系统
 5. 处理器
 6. 总线
 7. IO系统

1.1 字符和字符串

在这里插入图片描述

1.2 数据存储与排列

1.2.1 存储模式

多字节数据在内存中一定占连续的字节

大端模式：高字节低地址

小端模式：低地址低字节

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一个多字节数据，必须存放在连续的地址单元

1.2.2 边界对齐

边界对齐：访问一个字/半字只需一次访存

边界不对齐：访问一个字/半字可能需要两次访存
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1.3 二进制

1.3.1 计算机采用二进制原因

可行性：二进制只有01两个状态，能标识01两种状态的电子器件很多。
运算简易性：二进制运算法则少，运算简单，简化硬件结构
有逻辑代数的理论基础：二进制0和1正好和逻辑代数的真假对应

1.3.2 编码（二进制的解释方式）

原码

n+1位定点整数 $1\underbrace{1\cdots11}_{n}.\sim 0\underbrace{11\cdots1}_n.$ :范围 $-2^n-1\sim2^n-1$

n+1位定点小数 $1.\underbrace{11\cdots 11}_{n}\sim 0.\underbrace{11\cdots 11}_n$ 范围 $-1+2^{-n}\sim 1-2^{-n}$

字长足够，则可表示任意整数
不能表示任意小数，只能是2的整数次幂
真值0不唯一，可表示数少1

反码

真值0不唯一：+0，-0

表示数值的范围和原码相同

补码

$n + 1$ 位二进制数可表示

定点整数 $1,\underbrace{00\cdots 00}_n.\sim 0,\underbrace{11\cdots 11}.$ ： $-2^n \sim 2^n-1$
定点小数 $1.\underbrace{00\cdots00}_n\sim 0.\underbrace{11\cdots11}_n$ ： $-1\sim 1-2^{-n}$

补码特点(机内码)

真值0的补码唯一
正数的补码二进制表示的无符号数，小于负数的补码表示的无符号二进制数
- 如：127：0111 1111，-1；
数值位1越多表示数字越大
- 0同侧编码值越大，真值越大
- 正数的2进制编码小于负数的二进制编码 1000(-8) <0111(7)

原码变为补码：从右到左，找到第一个1，其左边取反，其右边不变

原码： 01110100 补码： 10001100

正数补码等于原码（什么编码都不变）
负数补码等于原码取反加一

在这里插入图片描述

编码方式与范围

n位2进制编码

编码方式	最小值编码	最小值	最大值编码	最大值	数值范围
无符号定点整数	$\underbrace{00...00}_n.$	0	$\underbrace{11...11}_n.$	$2^{n+1}-1$	$0\le x\le 2^{n+1}-1$
无符号定点小数	$.\underbrace{00...00}_n$	0	$0.\underbrace{11...11}_n$	$1-2^{-n}$	$0\le x\le 1-2^{-n}$
原码定点整数	$1,\underbrace{1...11}_{n-1}.$	$2^n+1$	$0,\underbrace{1\cdots11}_{n-1}.$	$2^n-1$	$-2^n+1\le x \le 2^n-1$
原码定点小数	$1.\underbrace{1...11}_{n-1}$	$1+2^{-n}$	$0.\underbrace{1...11}_{n-1}$	$1-2^{-n}$	$-1-2^{-n}\le x \le 1-2^{-n}$
补码定点整数	$1,\underbrace{0...00}_{n-1}.$	$2^n$	$0,\underbrace{1...11}_{n-1}.$	$2^n-1$	$-2^n\le x \le 2^n-1$
补码定点小数	$1.\underbrace{0...00}_{n-1}$	$- 1$	$0.\underbrace{1...11}_{n-1}$	$1-2^{-n}$	$-1\le x \le 1-2^{-n}$

移码

真值加一个常数

[x]_{移} = 2^{n} + x （ - 2^{n} \leq x \leq 2^{n} ，机器字长为 n + 1 ） x_{1} = + 10101 ， x_{2} = - 10101 ，字长 8 位，则其移码表示为： [x_{1}]_{移} = 2^{7} + 10101 = 1, 0010101, [x_{2}]_{移} = 2^{7} + (- 10101) = 0, 1101011

只能表示整数
真值0唯一
移码大小与数值的大小一致
- 移码大，真值大
- 移码小，真值小

n位二进制能表示 $2^n$ 个数字

1.3.3 无符号整数

用于表示内存地址信息

表示范围 $0\sim 2^n-1$

若寄存器位数小于无符号定点整数，舍去高位 发生上溢出

1.3.4 定点数运算

移位

逻辑移位

无符号数，空位填0

算术移位

有符号数
在这里插入图片描述

循环移位

丢弃位会存在 CF 中

适用情况：高低字节数据互换
在这里插入图片描述

加法

原码

符号位相同：绝对值相加，符号位不变

符号位不同：符号等于绝对值大者

机内实现两种策略

转换为补码后，用补码加减法实现，结果再转回原码
直接用原码进行加减，符号与数值分开运算

补码

符号位和尾数一起运算

补码运算结果为补码

补码加减运算：

当参加运算的数是定点小数时，模 $M = 2$
当参加运算的数是定点整数时，模 $M=2^{n+1}$

$[A+B]_补=[A]_补+[B]_补(mod\quad M)\\ [A-B]_补=[A]_补+[-B]_补(mod\quad M)$

溢出判断

只有 “正数+正数” 才可能上溢 —— 正+正=负

只有 “负数+负数” 才可能下溢 —— 负+负=正

采用一位符号位 (模2补码)

设 A 的符号位为 $A_s$ ，B的符号位为 $B_s$ ，运算结果符号位为 $S_s$ ，则溢出表达式为 $V=\underbrace{A_sB_s\overline{S_s}}_{001}+\underbrace{\overline{A_s}\overline{B_s}S_s}_{110}$

$V = 1$ ，表示无溢出
$V = 0$ ，表示有溢出

如：

[A + B]_{补} = 0, 0001111 + 0, 1111100 = 1, 0001011 真值 - 117 V = 0 ，溢出 [B - C]_{补} = 1, 1101000 + 1, 0000100 = 0, 1101100 真值 + 108 ， V = 1 ，溢出

根据进位情况判断

	符号位进位 $C_S$	最高数值位进位 $C_1$
上溢	0	1
下溢	1	0

在这里插入图片描述
即： $C_s$ 与 $C_1$ 不同时有溢出

溢出判断表达式为 $V=C_s\oplus C_1$

$V = 0$ ，表示无溢出
$V = 1$ ，表示有溢出

双符号位 （模4补码）

正数符号00，负数符号11

[A + C]_{补} = 00, 0001111 + 00, 1111100 = 本来符号位 0 实际符号位 1, 0001011 上溢 [B - C]_{补} = 11, 1101000 + 11, 0000100 = 10, 1101100 下溢

记两个符号位为

S_{s1}S_{s2}

，则

V=S_{s_1}\oplus S_{s_2}

$V = 0$ ，表示无溢出
$V = 1$ ，表示有溢出

上溢：超出表示范围的上边界

下溢：低于表示范围的下边界

注意：

实际存储时只存一位符号位，在运算时复制
双符号位，算术移位只有低位符号位参与（由于实际只存1位）

乘法

在这里插入图片描述

原码一位乘

结果的符号位通过异或确定

符号位不参与运算，可以省略
原码一位乘可以只用单符号位

数值部分通过被乘数和乘数绝对值的n轮 加法、移位 完成

根据当前乘数中参与运算的位确定 (ACC) 加什么

为0，则 $(A CC) + 0$
为1，则 $(ACC)+[\mid x\mid]_原$

每轮加法后，ACC，MQ的内容统一 **逻辑右移 **

如

设机器字长5位（1位符号位，4位数值位）， $x=(13)_{10}=+1101,y=(-11)_{10}=-1011$ ，采用原码一位乘法求 $x\times y$

符号位 $P_s = x_s\oplus y_s=0\oplus 1=1$
$\mid x\mid = 1101,\mid y\mid = 1011$ ，原码一位乘法的求解过程如下
最后结果为 $P_s+(ACC)+(MQ)=1.1000\quad1111=-0.1000\quad1111$

还不懂的话去看：参考博客

补码一位乘(Booth法)

增加一位辅助位，补充到最低位，初始值为 $0$

n轮加法，加法规则
补码的算数右移，符号位不动，数值位右移

符号位是什么就补什么

如

设机器字长5位（1位符号位，4位数值位）， $x=(-13)_{10}=-0.1101,y=(11)_{10}=+0.1011$ ，采用补码一位乘法求 $x\times y$

$x]_补=11.0011,[-x]_{补}=00.1101$
计算过程
结果： $[x·y]_{补}=11.0111\quad 0001$ ，即 $x·y=-0.1000\quad 1111$

还不懂的话去看：参考博客

除法

在这里插入图片描述

原码一位除

符号位 $Q_s = x_s\oplus y_s$

恢复余数法：当余数为负时，上商0，并 $+ 除数$ ，再左移，再 $- 除数$

加减交替法：当余数为负时，上商0，并左移，再 $+ 除数$

在这里插入图片描述

补码一位除

符号位参与运算，除数和被除数均用双符号位表示

被除数与除数同号，被除数减去除数；

被除数与除数异号，被除数加上除数
余数和除数同号，商为1，余数左移一位，下次减除数；

余数和除数异号，商为0，余数左移一位，下次加除数。
重复步骤2，包括符号在内，工作n+1步

如

已知 x=0.1011，y=0.1101，用补码加减交替法求 $\frac{x}{y}$

$x]_补=00.1011,[y]=00.1101,[-y]_补=11.0011,n=4$

在这里插入图片描述
商 $Q]_补=0.1101$ ，余数 $R]_补=0.0111$

强制类型转换

等字长无符号数与有符号数

位值不变，改变解释方式

不同字长整数之间转换

大字长到小字长

将多余高位字长部分截断，低位赋值

小字长到大字长

数值相等，高位进行符号位填充

填充规则

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定点整数：在原符号位和数值位中间添加新位

正数加0

负数：原码加0；反，补码加1
定点小数：在原数值位后面添加新位

正数都加0

负数：原、补码加0，反码加1

1.3.5 浮点数运算

引入目的

在二进制位数不变的前提下，扩展可表示范围
定点数精度比浮点数大

格式

在这里插入图片描述
浮点数数值： $N=r^E\times M$

阶码

阶码反映浮点数表示范围及小数点位置

阶码是用补码或移码表示的定点整数

阶码的表示算数左移位数

尾数

尾数反映精度

尾数是用原码或补码表示的定点小数

尾数越少，可表示的精度越低

如

7位阶码，1位数符，8位尾数。若阶码用移码，尾数用补码表示，则浮点数所能表示数的范围

阶码最大 $2^7-1=63$

尾数范围 $-1\sim 1-2^{-8}$

$-2^{63}\sim (1-2^{-8})\times2^{63}$

规格化

没有隐含1，尾数最小值为-1

有隐含1，尾数最小值 $2-2^n)$

尾数规格化

规格化浮点数：规定位数的最高数值位必须是一个有效值

左规：当浮点数运算的结果为非规格化时要进行规格化处理，将 尾数算数左移一位，阶码减一

右规：当浮点数运算的结果位数出现溢出（双符号位为01或10）时，将 尾数算数右移一位，阶码加一
在这里插入图片描述

用原码表示的尾数进行规格化

正数 $0.1 XXX .. XX$ 的形式。其最大值表示为 $0.\underbrace{11..1}_{n}$ ，最小值表示为 $0.10..0$ 。尾数的表示范围为 $\frac{1}{2}\le M\le (1-2^{-n})$

负数为 $1.1 XXX .. XX$ 的形式。其最大值表示为 $1.\underbrace{10..0}_n$ ，最小值表示为 $1.\underbrace{11..1}_n$ 。尾数的表示范围为 $-(1-2^{-n})\le M\le-\frac{1}{2}$

用补码表示的尾数进行规格化

正数 $0.1 XX .. X$ 的形式。其最大值表示为 $0.\underbrace{11...1}_n$ ，最小值表示为 $0.10..0$ 。尾数的表示范围为 $\frac{1}{2}\le M\le (1-2^{-n})$ 。

负数 $1.0 XX .. X$ 的形式。其最大值表示为 $1.\underbrace{01...1}_n$ ，最小值表示为 $1.00..0$ 。尾数的表示范围为 $-1\le M\le -(\frac{1}{2}+2^{-n})$

浮点数可表示范围

阶码和尾数均用补码 表示，阶码部分共 $K + 1$ 为(含1位阶符)，尾数部分共 $n + 1$ 位(含1位数符)，则这样的浮点数的表示范围是多少

浮点数	阶码	尾数	真值
(规格化)最大正数	$0,\underbrace{1\cdots 1}_K$	$0.\underbrace{11\cdots 11}_n$	$(1-2^{-n})\times 2^{2^k-1}$
最小正数	$1,\underbrace{0\cdots 0}_K$	$0.\underbrace{00\cdots 01}_n$	$2^{-n} \times 2^{2^{-k}}$
规格化最小正数	$1,\underbrace{0\cdots 0}_K$	$0,\underbrace{10\cdots 0}_n$	$2^{-1}\times 2^{-2^{k}}$
(规格化)最小负数	$0,\underbrace{1\cdots 1}_k$	$1.\underbrace{00\cdots 00}_n$	$(-1)\times 2^{2^k-1}$
最大负数	$1,\underbrace{0\cdots 0}_K$	$1.\underbrace{11\cdots 11}_n$	$-2^{-n}\times 2^{-2^k}$
规格化最大负数	$1,\underbrace{0\cdots 0}_K$	$1.\underbrace{01\cdots 11}_n$	$-(2^{-n}+2^{-1})\times 2^{-2^k}$

IEEE754

引入目的：增加数据的表示精度

格式

规格化的单精度浮点数： $(-1)^s\times 1.M\times 2^{E-127}$

尾数实际尾数为24

类型	数符s位数	阶码E位数	尾数M位数	总位数	阶码偏移值 $2^{阶码位数-1})$
单精度浮点数(float)	1	8 $(-126\sim 127)$	23	32	127
双精度浮点数(double)	1	11	52	64	1023

IEEE754移码

$E - 127 = E 的二进制表示 + 10000001$

阶码真值=阶码无符号整数值-阶码偏移值

阶码	无符号整数	阶码真值(IEEE偏移值 $2^{n-1}-1)$ )
0000 0001	1	-126
0000 0010	2	-125
…	…	…
0111 1111	127	0
1000 0000	128	1
…	…	…
1111 1110	254	127

阶码全0和全1代表特殊含义

IEEE754浮点数范围

格式	规格化的最小绝对值	规格化的最大绝对值
单精度	E=1；M=0； $1.0\times 2^{1-127}=1.0\times 2^{-126}$	E=254；M=.11…1； $1.11...1\times 2^{254-127}=(2-2^{-23})\times 2^{127}$
双精度	E=1；M=0； $1.0\times 2^{1-1023}=1.0\times 2^{-1022}$	E=2046；M=.11…1； $1.11...1\times 2^{2046-1023}=(2-2^{1023})\times 2^{1023}$

阶码E全为0，尾数M不全为0——非规格化小数

阶码E全为0，尾数M全为0——真值0

阶码E全为1，尾数M全为0——无穷大

阶码E全为1，位数M不全为0——非数值

溢出

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加减运算

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强制类型转换

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IEEE754尾数默认省略最高位1
当 int 类型转浮点数类型，若整数位数>24位，会有舍入误差

举例

若 i 是一个 int 型整数，f 和 d 分别为 float 型(32位) 和 double (64位) 实数。判断各布尔表达式的布尔值

i==(int)((double)i)

true : int 32位有效数字，double为52+1=53位有效数字，所以强制转化为 double 类型后在转回去不会发生精度损失
f == (float)((int)f)

false: float 型有小数部分，转为int后可能没有小数部分

float转为int有32位有效数字，再转回float后，可能丢失有效数字
f == (float)((double)f)

true: double比float精度高，float转为double不会丢失精度
d == (double)((float)f)

false: float尾数有效位数小于double，所以 (float)f 会丢失精度，再转回 double后，不相等

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1.4 运算器构造与功能

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1.5 加法器

1.5.1 一位全加器FA

作用：求本位和、进位

1.5.2 串行加法器

作用：完成两个n位二进制数的加法

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1.5.3 并行加法器

C_{i} = A_{i} B_{i} + (A_{i} \oplus B_{i}) C_{i - 1} C_{i - 1} = A_{i - 1} B_{i - 1} + (A_{i - 1} \oplus B_{i - 1}) C_{i - 2}

根据进位计算公式，发现当前公式中进位是上一公式计算得出的，而上一公式中的进位是由其上一位公式计算的出的。最终可以展开到 $C_0$ ，这样 $C_i$ 就不需要等待 $C_{i-1}$ 计算完成后再进行计算。

串行连接

将n个并行全加器串接起来，就可进行两个n位数相加

串行进位又称行波进位，每一级的进位直接依赖于前一级的进位，即进位信号是逐级形成的

运算的速度取决于进位产生和传递速度

并行连接

并行进位的并行加法器（先行进位，同时进位）：各级进位信号同时生成

G_{i} = A_{i} B_{i} P_{i} = A_{i} \oplus B_{i} C_{i} = A_{i} B_{i} + (A_{i} \oplus B_{i}) C_{i - 1} = G_{i} + P_{i} C_{i - 1} C_{1} = G_{1} + P_{1} C_{0} C_{2} = G_{2} + P_{2} C_{1} = G_{2} + P_{2} (G_{1} + P_{1} C_{0}) C_{3} = G_{3} + P_{3} C_{2} = G_{3} + P_{3} (G_{2} + P_{2} (G_{1} + P_{1} C_{0})) \dots

$G_i$ 为进位产生函数，当 $G_i==1$ 时，一定会产生进位
进位传递函数：当 $A_i$ 与 $B_i$ 只有一个1，会把 $C_{i-1}$ 传递到高位 $C_i$

根据进位函数，构造 先行进位电路CLA

ALU

在这里插入图片描述

1.5.4 分组并行进位加法器

单级先行进位

组内并行、组件串行

在这里插入图片描述

由于并行加法器在计算进位时，越高位用到的逻辑门元件越多，而 $C_1\sim C_4$ 的产生速度很快，所以将一个4位CLA作为一个组，组内进位可同时得出，产生一个组进位

C_{1} = G_{1} + P_{1} C_{0} C_{2} = G_{2} + P_{2} C_{1} = G_{2} + P_{2} (G_{1} + P_{1} C_{0}) C_{3} = G_{3} + P_{3} C_{2} = G_{3} + P_{3} (G_{2} + P_{2} (G_{1} + P_{1} C_{0})) C_{4} = G_{4} + P_{4} C_{3} = G_{4} + P_{4} (G_{3} + P_{3} (G_{2} + P_{2} (G_{1} + P_{1} C_{0})))

只有得到前一组的进位信号，本组才可以计算

ALU

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多级先行进位

组内并行，组件并行

多个组的进位信号同时产生
在这里插入图片描述

ALU

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原文地址：https://blog.csdn.net/qq_40479037/article/details/126440594