【高等数学基础进阶】不定积分-part1

一、不定积分的概念与性质

原函数：$F^{\prime }(x)=f(x)$

不定积分：$\int f(x)dx=F(x)+C$

不定积分的几何意义：表示一簇积分曲线，这簇积分曲线对应于横坐标$x$处的切线都相互平行

原函数存在定理

定理1：若$f(x)$在区间$I$上连续，则$f(x)$在区间$I$上一定存在原函数

定理2：若$f(x)$在区间$I$上有第一类间断点，则$f(x)$在区间$I$上没有原函数

例1： g ( x ) = sgn  x = { − 1 x < 0 0 x = 0 1 x > 0 g(x)=\text{sgn }x=

g(x)=sgn x=⎩ ⎨ ⎧​−101​x<0x=0x>0​

设存在原函数$F(x)$，根据分段函数
F ( x ) = { − x + C 1 x < 0 x + C 2 x > 0 F(x)=

F(x)={ −x+C1​x+C2​​x<0x>0​
由于$F(x)$在$x=0$处连续，则$C_1=C_2=C$，有
$$F(x)=\{\begin{array}{ll}-x+C& x<0\\ x+C& x>0\end{array}=|x|+C$$
根据定义$F^{\prime }(x)=g(x)$，显然$F^{\prime }(0)$不存在，因此$g(x)$不存在原函数
即，若$f(x)$在区间$I$上有第一类间断点，则$f(x)$在区间$I$上没有原函数

不定积分的性质

( ∫ f ( x ) d x ) ′ = f ( x ) d ∫ f ( x ) d x = f ( x ) d x ∫ f ′ ( x ) d x = f ( x ) + C ∫ d f ( x ) = f ( x ) + C ∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ] d x = ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x

​(∫f(x)dx)′=f(x)∫f′(x)dx=f(x)+C​d∫f(x)dx=f(x)dx∫df(x)=f(x)+C​∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx​

二、不定积分的基本公式

∫ 0 d x = C ∫ x α d x = 1 α + 1 x α + 1 + C ∫ 1 x d x = ln ⁡ ∣ x ∣ + C ∫ a x d x = a x ln ⁡ a + C ∫ e x d = e x + C ∫ sin ⁡ x d x = − cos ⁡ x + C ∫ cos ⁡ x d x = sin ⁡ x + C ∫ sec ⁡ 2 x d x = tan ⁡ x + C ∫ csc ⁡ 2 x d x = − cot ⁡ x + C ∫ 1 cos ⁡ 2 x d x = tan ⁡ x + C ∫ 1 sin ⁡ 2 x d x = − cot ⁡ x + C ∫ sec ⁡ x tan ⁡ x d x = sec ⁡ x + C ∫ csc ⁡ x cot ⁡ x d x = − csc ⁡ x + C ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin ⁡ x + C ∫ 1 1 + x 2 d x = arctan ⁡ x + C ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin ⁡ x a + C ∫ 1 a 2 + x 2 d x = 1 a arctan ⁡ x a + C ∫ 1 x 2 − a 2 = 1 2 a ln ⁡ ∣ x − a x + a ∣ + C ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln ⁡ ( x + x 2 + a 2 ) + C ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln ⁡ ∣ x + x 2 − a 2 ∣ + C ∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ sec ⁡ x + tan ⁡ x ∣ + C ∫ csc ⁡ x d x = − ln ⁡ ∣ csc ⁡ x + cot ⁡ x ∣ + C

∫0dx∫xαdx∫x1​dx∫axdx∫exd∫sinxdx∫cosxdx∫sec2xdx∫csc2xdx∫cos2x1​dx∫sin2x1​dx∫secxtanxdx∫cscxcotxdx∫1−x2 ​1​dx∫1+x21​dx∫a2−x2 ​1​dx∫a2+x21​dx∫x2−a21​∫x2+a2 ​1​dx∫x2−a2 ​1​dx∫secxdx∫cscxdx​=C=α+11​xα+1+C=ln∣x∣+C=lnaax​+C=ex+C=−cosx+C=sinx+C=tanx+C=−cotx+C=tanx+C=−cotx+C=secx+C=−cscx+C=arcsinx+C=arctanx+C=arcsinax​+C=a1​arctanax​+C=2a1​ln∣x+ax−a​∣+C=ln(x+x2+a2 ​)+C=ln∣x+x2−a2 ​∣+C=ln∣secx+tanx∣+C=−ln∣cscx+cotx∣+C​

三、三种主要积分法

第一类换元法（凑微分法）

若$\int f(u)du=F(u)+C$
则$\int f[\varphi (x)]{\varphi }^{\prime }(x)dx=\int f[\varphi (x)]d\varphi (x)=F[\varphi (x)]+C$

例2：计算积分$\int \frac{dx}{\sqrt{x(4-x)}}=()$

原式 = ∫ d ( x − 2 ) 4 − ( x − 2 ) 2 = arcsin ⁡ x − 2 2 + C 原式 = ∫ d x x 4 − x = 2 ∫ d x 4 − ( x ) 2 = 2 arcsin ⁡ x 2 + C

原式原式​=∫4−(x−2)2 ​d(x−2)​=arcsin2x−2​+C=∫x ​4−x ​dx​=2∫