【AcWing题解/Google Kickstart2019 Round B Problem B】能量石

原题链接：https://www.acwing.com/problem/content/description/736/
难度：困难（？）
涉及知识点：01背包、贪心算法

题意分析

给定一些能量石，对于第 $i$ 块能量石，其初始能量值为 $E_i$，每秒会减少 $L_i$ 单位的能量，吃完这块能量石需要 $S_i$ 秒并且会立刻得到这块能量石的能量。能量石的的能量最多降到 0，不会为负数。求杜达最后能获得多少能量。

分析与解决

这一题乍一看确实是没有思路的，但是我们细想一下，在基于闫氏DP思考法即在集合角度思考DP 问题时，往往是考虑了整个集合，那么存不存在一个子集，让我们的注意力都集中在某一个子集中呢？当然有，这个子集就是最优解子集。
考虑在最优解子集 $a$ 中， 元素的排列为
$$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,...,a_{n-2},a_{n-1},a_n$$
对于一组相邻的元素 $a_i$ 和 $a_j$，如果我先吃 $a_i$ 再吃 $a_j$，那么所获取的能量为 $E_i+E_j-S_i\times L_j$；反之所获得的能量为 $E_j+E_i-S_j\times L_i$，由于这是最优解子集，我们必然可以得出如下不等式
$$E_i+E_j-S_i\times L_j\ge E_j+E_i-S_j\times L_i①$$
整理得
$$S_i\times L_j\le S_j\times L_i②$$
逆向推理，也就是如果一个集合能够满足这两个不等式，就一定是最优解子集，那么我们就可以在输入数据出通过 $sort$ 排序构造出最优解子集。然后在最优解子集里做 01 背包即可。

AC代码

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1e4 + 10;

struct Stone
{
    int s, e, l;
    bool operator< (const Stone &W) const
    {
        return s * W.l < l * W.s;
    }
}stone[N];
int T, n;
int f[N];

int main()
{
    cin >> T;
    
    for (int C = 1; C <= T; C++)
    {
        int m = 0;
        cin >> n;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            int s, e, l;
            cin >> s >> e >> l;
            stone[i] = {s, e, l};
            m += s;
        }
        
        sort(stone + 1, stone + n + 1);
        
        memset(f, -0x3f3f3f3f, sizeof f);
        f[0] = 0;
        
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            int s = stone[i].s, e = stone[i].e, l = stone[i].l;
            for (int j = m; j >= s; j--)
            {
                f[j] = max(f[j], f[j - s] + e - (j - s) * l);
            }
        }
        
        int res = 0;
        for (int i = 0; i <= m; i++) res = max(res, f[i]);
        printf("Case #%d: %d\n", C, res);
    }
    return 0;
}
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