【洛谷题解】P2066 机器分配

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2066
难度：普及/提高-

题意分析

转化一下。有 $n$ 个公司，对于第 $i$ 个公司，有 $m$ 件机器可供选择， 选择第 $j$ 台机器的代价是数量加1，价值是 $w[i][j]$，所有公司选择的总代价不得超过 $m$。要求求出最大价值及最大价值时各公司的选择数量。

分析与解决

通过题意分析，我们发现这显然是一个分组背包问题，所以对于第一问，我们可以直接套用分组背包的板子，令 $f[i][j]$ 的含义为前 $i$ 家公司，选择代价不超过 $j$ 的集合，枚举决策 $k$ 表示在当前代价不超过 $j$ 时的某个选择的代价，得出状态转移方程：
$$f[i][j]=\max (f[i-1][j],f[i-1][j-k]+w[i][k])$$
考虑滚动数组优化为一维数组，最终得到状态转移方程为：
$$f[j]=\max (f[j],f[j-k]+w[i][k])$$
对于第二问，考虑用 $way$ 数组维护 max ⁡ ( { f [ j ] } ) \max(\left.\{f[j]\right.\}) max({f[j]})时的决策 $k$，随状态转移而更新。特别注意地，在进行状态转移时对于物品（机器）和代价的循环为倒序枚举，因为我们最后要求的是字典序升序输出，需要对大一点的先更新。

AC代码

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 100, M = 100;

int n, m;
int f[N];
int w[N][N];
int way[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            cin >> w[i][j];        
        }
    }
    
    //分组背包
    for (int i = n; i ; i--)
    {
        for (int j = m; j >= 0; j--)
        {
            for (int k = 1; k <= j; k++)
            {
                if (f[j] < f[j - k] + w[i][k])
                {
                    f[j] = f[j - k] + w[i][k];
                    way[i][j] = k;
                }    
            }
        }
    }
    
    cout << f[m] << endl;
    
    int j = m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cout << i << " " << way[i][j] << endl;
        j -= way[i][j];
    }
    
    return 0;
}
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