关于DAG的一些零散记录

关于DAG的一些零散记录

Directed Graphical Models

Let G be a DAG with vertices V = (X1,…,Xd). For notational simplicity, we sometimes represent V = {1,…,d}. If P is a distribution for V with probability function p(x), we say that P is Markov to G, or that G represents P, if
$$p(x)=\prod _{j=1}^{d}p(x_j|{\pi }_{xj})$$
where ${\pi }_{xj}$ is the set of parent nodes of $X_j$ . The set of distributions represented by $G$ is denoted by $\mathcal{M}(G)$.

Par(X), the set of “parents” of a node X, consists of the nodes Z such that Z → X. Childr(X), the set of X’s “children”, includes exactly the nodes Z such that X → Z. The sets Anc(X) (“ancestors”) and Desc(X) (“descendants”) are defined by substituting “$⇝$ ” for “$\to$” in the last two sentences—but with the addition that a node always is its own ancestor and descendant, but never its child or parent (see Spirtes et al. (2000), p. 10).

Markov Condition

$W\perp \perp V\backslash (Desc(W)\cup Par(W))|Par(W)$

如图， X 1 ⊥  ⁣ ⁣ ⁣ ⊥ X 2 ， X 2 ⊥  ⁣ ⁣ ⁣ ⊥ { X 1 , X 4 } ， X 3 ⊥  ⁣ ⁣ ⁣ ⊥ X 4 ∣ { X 2 , X 1 } ， { X 4 , X 5 } ⊥  ⁣ ⁣ ⁣ ⊥ X 2 ∣ { X 1 , X 3 } X_1\perp\!\!\!\perp X_2，X_2\perp\!\!\!\perp\{X_1,X_4\}，X_3\perp\!\!\!\perp X_4|\{X_2,X_1\}，\{X_4,X_5\}\perp\!\!\!\perp X_2|\{X_1,X_3\} X1​⊥⊥X2​，X2​⊥⊥{X1​,X4​}，X3​⊥⊥X4​∣{X2​,X1​}，{X4​,X5​}⊥⊥X2​∣{X1​,X3​}

d-separation

d-SEPARATION WITHOUT TEARS(At the request of many readers)
d,即directional
d-separation是一个判定标准，来判断给定的因果图中集合$X$的变量在给定$Z$的情况下是否与$Y$无关。主要思想是将“相关”和“可连接性”以及“无关”和“不可连接性”联系起来。假设我们正在面对着一个有向箭头系统，这个系统中一些节点是测量变量，即已经精确地知道了它们的值。

1. 非条件分离
   规则1：如果两个节点$x$和$y$之间有非阻塞路径，则说明它们是d-connected。

   这里的路径是不考虑方向的。“无阻塞路径”意味着我们可以找到一条路径，不经过一对正面撞击的箭头。换句话说，正面撞击的箭头无法构成能够传递信息的连接。撞击被称为“collider”。
   例1：
   $$x\to r\to s\to t\leftarrow u\leftarrow v\to y$$
   路径$x-r-s-t$是非阻塞的，因此$x$和$t$是d-connected。同样地，路径$t-u-v-y$也是非阻塞的，所以$t$和$y$也是d-connected。然而，$x$和$y$不是d-connected，它们之间没有不包含撞击的路径。都必须经过$t$这个撞击位置。因此我们称$x$和$y$是d-separated，同样$x$和$v$、$s$和$u$、$r$和$u$等等都是如此。

2. 条件阻塞
   当一组变量$Z$的值给定时，剩余节点的条件分布可能发生改变。一些独立的变量可能变得不独立，一些非独立的变量可能变得独立。为了表示图中的动态改变，我们需要定义“条件有向连接性（conditional d-connectedness）”或者精确一点，“在Z集合条件下的有向连接性”
   规则2：如果$x$和$y$之间有不经过Z中节点的无冲撞路径，则称$x$和$y$在集合Z的节点条件下是有向连接的。如果没有这样的路径，则说$x$和$y$在条件Z下是有向分离的
   我们也可以说，$x$和$y$之间的每一条路径都是被Z堵塞的。
   例2：
   $$x\to \stackrel{◯}{r}\to s\to t\leftarrow u\leftarrow \stackrel{◯}{v}\to y$$
   让Z作为集合 { r , v } \{r,v\} {r,v}，很明显，$x$和$y$在Z条件下是有向分离的，同样也有$s$和$u$、$y$和$s$等。只有$s-t$以及$u-t$是在Z条件下有向连接的。而$s-t-u$由于规则1而被阻塞。

3. 条件定义在了在冲撞点上
   规则3：如果冲撞点是条件集合Z的一个节点，或者是Z的派生节点，那么这个冲撞点则不会造成阻塞。

让Z表示集合 { r , p } \{r,p\} {r,p}，规则3告诉我们现在$s$和$y$在Z条件下是有向连接的，然而由于$r$为条件集合的一员，$x$和$u$在Z下仍然是有向分离的。