【数论】莫比乌斯反演

知识点

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一 . 引子

题目：UVA11417 GCD

题目描述

给定 n ，求

其中 指的是 i 和 j 的最大公约数。

输入格式

本题有多组数据。

对于每组数据，输出一个整数 n ，如果 n=0 就终止程序。

输出格式

对于每组数据，输出计算结果。

说明 / 范围

对于 100% 的数据，。

输入输出样例

输入 #1

10
100
500
0

输出 #1

67
13015
442011

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
inline int read()
{
	int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9')
	{
		if(c=='-') f=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9')
	{
		x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);
		c=getchar();
	}
	return x*f;
}
 
inline int Gcd(int a,int b)
{
	if(b==0) return a;
	return Gcd(b,a%b);
}
 
int main()
{
	int n;
	while(scanf("%d",&n) && n!=0)
	{
		int ans=0;
		for(int i=1;i<=n;++i)
		{
			for(int j=i+1;j<=n;++j)
			{
				ans+=Gcd(i,j);
			}
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	
	return 0;
}

在这道题中，因为数据范围很小，所以使用通过循环找最大公约数及求和，但是当数据很大的时候就会造成TLE。

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相关练习：

（n倍经验系列）：

1. UVA11426 拿行李（极限版） GCD - Extreme (II)

2. UVA11424 GCD - Extreme (I)

3.  洛谷 P1390 公约数的和

4.  洛谷 P2398 GCD SUM

5. 洛谷 P2568 GCD

6.  洛谷 P3768 简单的数学题

7. 洛谷 P2257 YY的GCD 

#include 
#include 
#include 
#include 
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e7+5;
ll int phi[maxn],sum[maxn],f[maxn];
inline ll int read()
{
	ll int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9')
	{
		if(c=='-') f=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9')
	{
		x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);
		c=getchar();
	}
	return x*f;
}
 
inline void phi_table(ll int n)
{
	for(int i=2;i<=n;++i) phi[i]=0;
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;++i)
	{
		if(!phi[i])
		{
			for(int j=i;j<=n;j+=i)
			{
				if(!phi[j]) phi[j]=j;
				phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
			}
		}
	}
}
 
int main()
{
	ll int n;	
	while(scanf("%lld",&n) && n!=0)
	{
		phi_table(n);
		for(int i=1;i<=n;++i)
		{
			for(int j=i*2;j<=n;j+=i)
			{
				f[n]+=i*phi[j/i];
			}
		}
		sum[2]=f[2];
		for(int i=3;i<=n;++i)
		{
			sum[n]=sum[n-1]+f[n];
		}
		printf("%lld\n",sum[n]);
	}	
	return 0;
}

8 . 洛谷 P2303 [SDOI2012] Longge 的问题

#include 
#include 
#include 
#include 
#define ll long long 
#define re register
using namespace std;
ll int n;
inline ll int read()
{
	ll int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9')
	{
		if(c=='-') f=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9')
	{
		x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);
		c=getchar();
	}
	return x*f;
}
 
inline void write(ll int x)
{
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	if(x>9) write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
 
inline ll int euler_phi(ll int n)
{
	ll int ans=n;
	for(ll int i=2;i*i<=n;++i)
	{
		if(n%i == 0)
		{
			ans=ans/i*(i-1);
			while(n%i == 0)	n/=i;
		}
	}
	if(n!=1) ans=ans/n*(n-1);
	return ans; 
}
 
int main()
{
	n=read();
	ll int ans=0;
	for(ll int i=1;i*i<=n;++i)
	{
		if(n%i == 0)
		{
		ans+=i*euler_phi(n/i);	
		if(i*i!=n) ans+=(n/i)*euler_phi(i);
		}
	}
	write(ans);
	return 0;
}