“蔚来杯“2022牛客暑期多校训练营（加赛） D题: Directions

D题: Directions

原题链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/38727/D

题目大意

假设地球是完美球体。

对于球上的两个点 $x,y$ ，定义 $w_{x,y}$ 为从 $x$ 向西到 $y$ 的距离， $e_{x,y}$ 为从 $x$ 向东到 $y$ 的距离。

若 $w_{y,x}<e_{y,x}$ 则称 $x$ 在 $y$ 的西面。
若 $w_{y,x}<e_{y,x}$ 则称 $x$ 在 $y$ 的东面。

定义大小为 $n\times n$ 的方向矩阵 $D$ 为:

• $\forall i\in [1,n]$ ，有 $D_{i,i}{=}^{\prime }{\ast }^{\prime }$ 。
• $\forall i,j\in [1,n],i\ne j$ ，有 $D_{i,j}\in W,E$ 。

称方向矩阵 $D$ 为真实的，当赤道上存在 $n$ 个不同的位置 $a_1,a_2,...,a_n$ 满足:

• 从北极上方俯视赤道时，所有点逆时针排列。
• $\forall i,j\in [1,n],i\ne j$ ，如果 $D_{i,j}=W$ 则 $a_i$ 在 $a_j$ 西面，反之在东面。

现在给定某些元素被’?‘表示的方向矩阵 $D$ ，每个’?‘可以被替换为’W’或’E’，求有多少真实的方向矩阵可以通过替换’?'得到。

题解

假设 $a_2,a_3,...,a_p$ 在 $a_1$ 的东面， $a_{p+1},a_{p+2},...,a_n$ 在 $a_1$ 的西面。
将 $a_2,a_3,...,a_p$ 通过球心投影到 $a_1$ 的东面得到对应点 $a_2^{\prime },a_3^{\prime },...,a_p^{\prime }$ 。
现在 $a_i(2\le i\le p)$ 与 $a_j(p+1\le j\le n)$ 的关系可以对应到 $a_j$ 与 $a_i^{\prime }$ 的关系。
以下称 $x$ 在 $y$ 的西面为 $x<y$ ， $x$ 在 $y$ 的东面为 $x>y$ 。
那么问题转化为求 $a_2^{\prime },a_3^{\prime },...,a_p^{\prime }(a_2^{\prime }<a_3^{\prime }<...<a_p^{\prime })$ 和 $a_{p+1},a_{p+2},...,a_n(a_{p+1}<a_{p+2}<...<a_n)$ 合并后可构成的上升序列数。

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下文中的 $a_i^{\prime }$ 指第 $i$ 个 $a^{\prime }$ (即原来的 $a_{i+1}^{\prime }$ )， $a_i$ 指第 $i$ 个 $a$ (即原来的 $a_{p+i}$ )
设 $a^{\prime }$ 共有 $x(x=p-1)$ 个， $a$ 共有 $y(y=n-p)$ 个。

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设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个 $a^{\prime }$ 和前 $j$ 个 $a$ 可构成的上升序列数。
每次枚举第个 $a_i^{\prime }$ 的位置，可得转移式:
$$f_{i,j}=\sum _{k=0}^j{f}_{i-1,k}\times g_{i,k}$$

其中 $g_{i,k}$ 表示 $a_i^{\prime }$ 能否位于 $a_k$ 与 $a_{k+1}$ 之间，可得:
$$g_{i,j}=\prod _{k=1}^j[a_k<a_i^{\prime }]\prod _{k=j+1}^y[a_i^{\prime }<a_k]$$

通过预处理前缀和后缀可以 $O(n^2)$ 得到所有的 $g$ 。
但是原先的 $dp$ 的复杂度是 $O(n^3)$ 的(状态 $O(n^2)$ ，转移 $O(n)$ )，如果在此同时枚举 $p$ 则总复杂度为 $O(n^4)$ ，不能通过。
再次观察转移式 $f_{i,j}=\sum _{k=0}^j{f}_{i-1,k}\times g_{i,k}$ ，发现 $f_{i,j}$ 与 $f_{i,j-1}$ 的差别只有 $f_{i-1,j}\times g_{i,j}$ 一项，因而前缀和优化后可得递推式:
$$f_{i,j}=f_{i,j-1}+f_{i-1,j}\times g_{i,j}$$

状态 $O(n^2)$ ，转移 $O(1)$ ， $dp$ 复杂度为 $O(n^2)$ ，再算上枚举 $p$ 的 $O(n)$ ，程序总复杂度为 $O(n^3)$ ，可以通过。

注意判断判断初始的矩阵是否合法，同时根据对称将矩阵问号可以直接填充。

参考代码

#include
using namespace std;

template<class T>inline void read(T&x){
	char c,last=' ';
	while(!isdigit(c=getchar()))last=c;
	x=c^48;
	while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);
	if(last=='-')x=-x;
}

const int MAXN=5e2+7,P=998244353;
int n;
int x,y;
string s[MAXN];
int a[MAXN];
int b[MAXN]; 
int f[MAXN][MAXN];
int g[MAXN][MAXN];

int check(){//判断是否合法,并填补已经确定的'?'
	for(int i=1;i<=n;++i){
		for(int j=1;j<i;++j){
			if(s[i][j]==s[j][i]&&s[i][j]!='?')return 1;//W-W或E-E
			if(s[i][j]!=s[j][i]){//对称填充
				if(s[i][j]=='W')s[j][i]='E';
				if(s[i][j]=='E')s[j][i]='W';
				if(s[j][i]=='W')s[i][j]='E';
				if(s[j][i]=='E')s[i][j]='W';
			}
		}
	}
	return 0;
}

void init(){//预处理g数组
	static int pre[MAXN][MAXN];
	static int suf[MAXN][MAXN];
	for(int i=1;i<=x;++i){
		pre[i][0]=suf[i][y+1]=1;
		for(int j=1;j<=y;++j){//预处理前缀(0~y)
			pre[i][j]=pre[i][j-1]&(s[a[i]][b[j]]!='E');
		}
		for(int j=y;j>=1;--j){//预处理后缀(1~y+1)
			suf[i][j]=suf[i][j+1]&(s[a[i]][b[j]]!='W');
		}
		for(int j=0;j<=y;++j)g[i][j]=pre[i][j]&suf[i][j+1];//计算(0~y)
	}
}

void work(){
	init();
	for(int j=0;j<=y;++j)f[0][j]=1;//dp预处理
	for(int i=1;i<=x;++i){
		for(int j=0,sum=0;j<=y;++j){
			sum=(sum+g[i][j]*f[i-1][j])%P;//前缀和优化(直接使用递推式需要特判下标f[-1])
			f[i][j]=sum;
		}
	}
}

int main()
{
	int T;read(T);
	while(T--){
		read(n);
		for(int i=1;i<=n;++i){
			cin>>s[i];
			s[i]=" "+s[i];
		}
		if(check()){//原矩阵非法
			puts("0");
			continue;
		}
		int ans=0;
		for(int i=1;i<=n;++i){
			int flag=x=y=0;
			for(int j=2;j<=i;++j){
				a[++x]=j;
				flag|=s[j][1]=='W';
				for(int k=2;k<j;++k){
					flag|=s[j][k]=='W';
				}
			}
			for(int j=i+1;j<=n;++j){
				b[++y]=j;
				flag|=s[j][1]=='E';
				for(int k=n;k>j;--k){
					flag|=s[j][k]=='E';
				}
			}
			if(flag)continue;//划分方案有误
			work();
			ans=(ans+f[x][y])%P;
		}
		cout<<ans<<'\n';
	}
	return 0;
}
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