【数学建模】图论模型（基础理论+最大流与最小费用流问题）

图论模型

基础理论

1.无向图与有向图

• 有向图的边称为弧，有向图一般记为 $D=(V,A)$，其中 $V$ 为顶点集，$A$ 为弧集。
• 边的表示 $(v_i,v_j)$，弧的表示 $<v_i,v_j>$。

2.简单图与完全图

• 无环且无重边的图称为简单图。
  
• 上图中，$e_2$ 和 $e_3$ 为重边， $e_5$ 为环。
• 任意两点均相邻的简单图称为完全图。含 $n$ 个顶点的完全图记为 $K_n$.

3.赋权图

• 赋权图中的权可以是距离、费用、时间、效益、成本等。

4.顶点的度

• 出度记为 $d^{+}(v)$，入度记为 $d^{-}(v)$.
• 度数为奇数的顶点称为奇顶点，度为偶数的顶点称为偶顶点。

定理 给定图 $G=(V,E)$，所有顶点的度数之和是边数的2倍，即
$$\sum _{v\in V}d(v)=2|E|$$

5.子图

• 如果 $G_1$ 是 $G_2$ 的子图，且 $V_1=V_2$，则称 $G_1$ 是 $G_2$ 的生成子图。

6.道路与回路

• 设 $W=v_0{e}_1{v}_1{e}_2...e_k{v}_k$，路长为边的个数 $k$
• 各边相异的道路称为迹，各顶点相异的道路称为轨道。
• 以顶点 $u,v$ 分别为起点和终点的最短轨道之长为顶点 $u,v$ 的距离。

7.连通图与非连通图

• 如果无向图 $G$ 中任意两个顶点 $u$ 和 $v$ 之间是连通的，则称图 $G$ 是连通图。
• 在有向图 $G$ 中，如果对于任意两个顶点 $u$ 和 $v$，从 $u$ 到 $v$ 和 从 $v$ 到 $u$ 都存在道路，则称图 $G$ 是强连通图。

图的表示

1.关联矩阵

对于无向图，关联矩阵 $\mathbf{M}={\left(m_{ij}\right)}_{n\times m}$:
m i j = { 1 , v i  与  e j  相关联,  0 , v i  与  e j  不关联.  m_{i j}=\left\{1,vi 与 ej 相关联, 0,vi 与 ej 不关联. 

\right. mij​={1,0,​vi​ 与 ej​ 相关联, vi​ 与 ej​ 不关联. ​
对于有向图，关联矩阵 $\mathbf{M}={\left(m_{ij}\right)}_{n\times m}$:
$$m_{ij}=\{\begin{array}{ll}1,& v_i\text{ 是 }{e}_j\text{ 的起点, }\\ -1,& v_i\text{ 是 }{e}_j\text{ 的终点, }\\ 0,& v_i\text{ 与 }{e}_j\text{ 不关联. }\end{array}$$

2.邻接矩阵

对于有向非赋权图，其邻接矩阵 $\mathbf{W}={\left(w_{ij}\right)}_{n\times n}$：
w i j = { 1 , ⟨ v i , v j ⟩ ∈ A 0 , ⟨ v i , v j ⟩ ∉ A w_{i j}=\left\{1,⟨vi,vj⟩∈A0,⟨vi,vj⟩∉A

\right. wij​={1,0,​⟨vi​,vj​⟩∈A⟨vi​,vj​⟩∈/A​

最大流问题

• 公路系统有车辆流、物资调配系统有物资流、金融系统有现金流，这些流问题都可归结为网络流问题，如何安排使流量最大，即最大流问题。

1.基本概念

• 网络上的流，是指定义为弧集合 $A$ 上的一个函数 f = { f i j } = { f ( v i , v j ) } f=\left\{f_{ij}\right\}=\left\{f(v_i,v_j)\right\} f={fij​}={f(vi​,vj​)}, $f_{ij}$ 为弧 $(v_i,v_j)$ 上的流量。
• 满足下列条件的流 $f$ 称为可行流：
  （1）容量限制条件：对每条弧 $\left(v_i,v_j\right)\in A,0⩽f_{ij}⩽c_{ij}$
  （2）平衡条件：对于中间点，流出量=流入量，即对于每个 $i(i\ne s,t)$有
  $$\sum _{j:\left(v_i,v_j\right)\in A}{f}_{ij}-\sum _{j:\left(v_j,v_i\right)\in A}{f}_{ji}=0$$
  最大流问题可以写为如下线性规划模型：
  $$\begin{array}{l}\max v\\ s.t.\{\begin{array}{l}{\sum }_{j:\left(v_i,v_j\right)\in A}{f}_{ij}-{\sum }_{j:\left(v_j,v_i\right)\in A}{f}_{ji}=\{\begin{array}{ll}v,& i=s\\ -v,& i=t\\ 0,& i\ne s,t\end{array}\\ 0⩽f_{ij}⩽c_{ij},\forall \left(v_i,v_j\right)\in A\end{array}\end{array}$$

最小费用流问题

• 在许多实际问题中，还需要考虑网络上流的费用问题。例如，在运输问题中，人们总是希望在完成运输任务的同时，寻求一个使总的运输费用最小的运输方案。
• 设 $b_{ij}$ 为弧上的单位费用，则最小费用流问题可用如下线性规划问题描述：
  $$\begin{array}{l}\max {\sum }_{(v_i,v_j)\in A}^{}{b}_{ij}fij\\ s.t.\{\begin{array}{l}{\sum }_{j:\left(v_i,v_j\right)\in A}{f}_{ij}-{\sum }_{j:\left(v_j,v_i\right)\in A}{f}_{ji}=\{\begin{array}{ll}v,& i=s\\ -v,& i=t\\ 0,& i\ne s,t\end{array}\\ 0⩽f_{ij}⩽c_{ij},\forall \left(v_i,v_j\right)\in A\end{array}\end{array}$$
• 当 $v$ 是最大流 $v_{max}$ 时，本问题就是最小费用最大流问题。