• JavaSE---二叉树

    1、 树型结构

    1.1 概念

    树是一种 非线性 的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的 。它具有以下的特点：
    • 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
    • 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
    • 树是递归定义的。
    注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

     1.2 概念

    结点的度 ：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图： A 的度为 6
    树的度 ：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为 6
    叶子结点或终端结点 ：度为 0 的结点称为叶结点； 如上图： B 、 C 、 H 、 I... 等节点为叶结点
    双亲结点或父结点 ：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图： A 是 B 的父结点
    孩子结点或子结点 ：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图： B 是 A 的孩子结点
    根结点 ：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图： A
    结点的层次 ：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子结点为第 2 层，以此类推
    树的高度或深度 ：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为 4
    树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：
    非终端结点或分支结点 ：度不为 0 的结点； 如上图： D 、 E 、 F 、 G... 等节点为分支结点
    兄弟结点 ：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图： B 、 C 是兄弟结点
    堂兄弟结点 ：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图： H 、 I 互为兄弟结点
    结点的祖先 ：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图： A 是所有结点的祖先
    子孙 ：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是 A 的子孙
    森林 ：由 m （ m>=0 ）棵互不相交的树组成的集合称为森林

    1.3 树的表示形式

    树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如： 双亲表示法 ， 孩子表示法 、 孩子双亲表示法 、 孩子兄弟表示法 等等。我们这里就简单的了解其中最常用的 孩子兄弟表示法 。
    class Node {
    int value ; // 树中存储的数据
    Node fifirstChild ; // 第一个孩子引用
    Node nextBrother ; // 下一个兄弟引用
    }

    1.4 树的应用

            文件系统管理（目录和文件）

     2、 二叉树

    2.1 概念

            一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
            1. 或者为空
            2. 或者是由 一个根节 点加上两棵别称为 左子树 和 右子树 的二叉树组成

     从上图可以看出：

            1. 二叉树不存在度大于 2 的结点
            2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
    注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

     2.2 两种特殊的二叉树

            1. 满二叉树 : 一棵二叉树，如果 每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树 。也就是说， 如果一棵 二叉树的层数为 K ，且结点总数是 2的k次方减1  ，则它就是满二叉树 。
            2. 完全二叉树 : 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K 的，有 n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K 的满二叉树中编号从 0 至 n-1 的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

    2.3 二叉树的性质

            1. 若规定 根结点的层数为 1 ，则一棵 非空二叉树的第 i 层上最多有 2的i次方减1 (i>0) 个结点
            2. 若规定只有 根结点的二叉树的深度为 1 ，则 深度为 K 的二叉树的最大结点数是2的k次方减1
    (k>=0)
            3. 对任何一棵二叉树 , 如果其 叶结点个数为 n0, 度为 2 的非叶结点个数为 n2, 则有 n0 ＝ n2 ＋ 1
            4. 具有 n 个结点的完全二叉树的深度 k 为log2（n+1） 上取整
            5. 对于具有 n 个结点的完全二叉树 ，如果按照 从上至下从左至右的顺序对所有节点从 0 开始编号 ，则对于 序号为 i 的结点有 ：
    • 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
    • 若2i+1，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
    • 若2i+2，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
    1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）
    A 不存在这样的二叉树
    B 200
    C 198
    D 199
    2. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点数为（a ）
    A n
    B n+1
    C n-1
    D n/2
    3. 一个具有 767 个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（b）
    A 383
    B 384
    C 385
    D 386
    4. 一棵完全二叉树的节点数为 531 个，那么这棵树的度为（b）
    A 11
    B 10
    C 8
    D 12

    2.4 二叉树的存储

            二叉树的存储结构分为： 顺序存储 和 类似于链表的链式存储 。 二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式 ，具体如下：
    // 孩子表示法
    class Node {
    int val ; // 数据域
    Node left ; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right ; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
    }
    // 孩子双亲表示法
    class Node {
    int val ; // 数据域
    Node left ; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right ; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
    Node parent ; // 当前节点的根节点
    }

    2.5 二叉树的基本操作

            2.5.1 前置说明 
    1. public class BinaryTree
    2. {
    3.     public static class BTNode
    4.     { 
    5.         BTNode left; 
    6.         BTNode right; 
    7.         int value;BTNode(int value)
    8.         { 
    9.             this.value = value; 
    10.         } 
    11.     }
    12.     private BTNode root;
    13.     public void createBinaryTree()
    14.     {
    15.         BTNode node1 = new BTNode(1); 
    16.         BTNode node1 = new BTNode(2); 
    17.         BTNode node1 = new BTNode(3); 
    18.         BTNode node1 = new BTNode(4);
    19.         BTNode node1 = new BTNode(5); 
    20.         BTNode node1 = new BTNode(6); 
    21.         root = node1; 
    22.         node1.left = node2; 
    23.         node2.left = node3; 
    24.         node1.right = node4; 
    25.         node4.left = node5; 
    26.         node5.right = node6; 
    27.     } 
    28. }
    注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。
            再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念，二叉树是：
            1. 空树
            2. 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的

        从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

    2.5.2 二叉树的遍历
            1. 前中后序遍历
            学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历 (Traversal) 是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结 点均做一次且仅做一次访问 。 访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题 ( 比如：打印节点内容、节点内容加 1) 。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

            在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

    • NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。
    • LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。
    • LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点。
    下面主要分析前序递归遍历

            前序遍历结果：1 2 3 4 5 6
            中序遍历结果：3 2 1 5 4 6
            后序遍历结果：3 1 5 6 4 1
            2. 层序遍历
            层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1 ，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第 2 层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

    1. 某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为 (a)
    A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA
    2. 二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历： EFHIGJK; 中序遍历： HFIEJKG. 则二叉树根结点为 (a)
    A: E B: F C: G D: H
    3. 设一课二叉树的中序遍历序列： badce ，后序遍历序列： bdeca ，则二叉树前序遍历序列为 (d)
    A: adbce B: decab C: debac D: abcde
    4. 某二叉树的后序遍历序列中序遍a历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出 ( 同一层从左到右 ) 的序列为 (a)
    A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF
    2.5.3 二叉树的基本操作 
    1. // 获取树中节点的个数 
    2. int size(Node root); 
    3.  
    4. // 获取叶子节点的个数 
    5. int getLeafNodeCount(Node root); 
    6.  
    7. // 子问题思路-求叶子结点个数 
    8.  
    9. // 获取第K层节点的个数 
    10. int getKLevelNodeCount(Node root); 
    11.  
    12. // 获取二叉树的高度 
    13. int getHeight(Node root);
    14.  
    15. // 检测值为value的元素是否存在
    16. Node find(Node root, int val); 
    17.  
    18. //层序遍历 
    19. void levelOrder(Node root); 
    20.  
    21. // 判断一棵树是不是完全二叉树
    22. boolean isCompleteTree(Node root);

    2.6 二叉树相关oj题

    1. 检查两颗树是否相同。
    2. 另一颗树的子树。
    3. 二叉树最大深度
    4. 判断一颗二叉树是否是平衡二叉树。
    5. 对称二叉树。
    6. 二叉树的构建及遍历。
    7. 二叉树的分层遍历 。
    8. 给定一个二叉树 , 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先 。
    9. 二叉搜索树转换成排序双向链表。
    10. 根据一棵树的前序遍历与中序遍历构造二叉树。
    11. 根据一棵树的中序遍历与后序遍历构造二叉树
    12. 二叉树创建字符串。
    13. 二叉树前序非递归遍历实现 。
    14. 二叉树中序非递归遍历实现。
    15. 二叉树后序非递归遍历实现。


     

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  • 原文地址：https://blog.csdn.net/weixin_51912875/article/details/125718572