• 【线性代数基础进阶】行列式-补充+练习


    爪型行列式

    爪型行列式的标准形式,即行列式的主对角线有值,第一行、第一列剩余位置为 1 1 1,其他位置为 0 0 0,形如
    D = ∣ a 0 1 1 ⋯ 1 1 a 1 0 ⋯ 0 1 0 a 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 0 0 ⋯ a n ∣ D=

    a01111a10010a20100an
    D= a01111a10010a20100an
    计算爪型行列式时,通常利用提公因式的方法,除第一行外,每行都把因子为 a i a_{i} ai提到行列式外,再将其转化为三角行列式,即
    D = a 1 a 2 ⋯ a n ∣ a 0 1 1 ⋯ 1 1 a 1 1 0 ⋯ 0 1 a 2 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 a n 0 0 ⋯ 1 ∣ = ∏ i = 1 n a i ∣ a 0 − ∑ i = 1 n 1 a i 0 0 ⋯ 0 1 a 1 1 0 ⋯ 0 1 a 2 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 a n 0 0 ⋯ 1 ∣ = ∏ i = 1 n a i ( a 0 − ∑ i = 1 n 1 a i )
    D=a1a2ana01a11a21an110010101001=i=1naia0i=1n1ai1a11a21an010000100001=i=1nai(a0i=1n1ai)
    D=a1a2an a0a11a21an1110010101001 =i=1nai a0i=1nai1a11a21an1010000100001 =i=1nai(a0i=1nai1)

    只要行列式除了主对角线上的元素外,其他各列的元素都相同,就可以每行减去第一行,转化为爪型行列式,形如
    D = ∣ x 1 a 2 a 3 a 4 a 1 x 2 a 3 a 4 a 1 a 2 x 3 a 4 a 1 a 2 a 3 x 4 ∣ = ∣ x 1 a 2 a 3 a 4 a 1 − x 1 x 2 − a 2 0 0 a 1 − x 1 0 x 3 − a 3 0 a 1 − x 1 0 0 x 4 − a 4 ∣ D=
    x1a1a1a1a2x2a2a2a3a3x3a3a4a4a4x4
    =
    x1a1x1a1x1a1x1a2x2a200a30x3a30a400x4a4
    D= x1a1a1a1a2x2a2a2a3a3x3a3a4a4a4x4 = x1a1x1a1x1a1x1a2x2a200a30x

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  • 原文地址:https://blog.csdn.net/liu20020918zz/article/details/126395754