爪型行列式的标准形式,即行列式的主对角线有值,第一行、第一列剩余位置为 1 1 1,其他位置为 0 0 0,形如 D = ∣ a 0 1 1 ⋯ 1 1 a 1 0 ⋯ 0 1 0 a 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 0 0 ⋯ a n ∣ D=
∣∣∣∣∣∣∣∣a011⋮11a10⋮010a2⋮0⋯⋯⋯⋯100⋮an∣∣∣∣∣∣∣∣
D=∣∣a011⋮11a10⋮010a2⋮0⋯⋯⋯⋯100⋮an∣∣ 计算爪型行列式时,通常利用提公因式的方法,除第一行外,每行都把因子为 a i a_{i} ai提到行列式外,再将其转化为三角行列式,即 D = a 1 a 2 ⋯ a n ∣ a 0 1 1 ⋯ 1 1 a 1 1 0 ⋯ 0 1 a 2 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 a n 0 0 ⋯ 1 ∣ = ∏ i = 1 n a i ∣ a 0 − ∑ i = 1 n 1 a i 0 0 ⋯ 0 1 a 1 1 0 ⋯ 0 1 a 2 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 a n 0 0 ⋯ 1 ∣ = ∏ i = 1 n a i ( a 0 − ∑ i = 1 n 1 a i )
D=a1a2⋯an∣∣a0a11a21⋮an1110⋮0101⋮0⋯⋯⋯⋯100⋮1∣∣=i=1∏nai∣∣a0−i=1∑nai1a11a21⋮an1010⋮0001⋮0⋯⋯⋯⋯000⋮1∣∣=i=1∏nai(a0−i=1∑nai1) 只要行列式除了主对角线上的元素外,其他各列的元素都相同,就可以每行减去第一行,转化为爪型行列式,形如 D = ∣ x 1 a 2 a 3 a 4 a 1 x 2 a 3 a 4 a 1 a 2 x 3 a 4 a 1 a 2 a 3 x 4 ∣ = ∣ x 1 a 2 a 3 a 4 a 1 − x 1 x 2 − a 2 0 0 a 1 − x 1 0 x 3 − a 3 0 a 1 − x 1 0 0 x 4 − a 4 ∣ D=